Clase 28

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Generalizamos el concepto de conjunto l.i.

Sea $V$ un $F-e.v.$ y $X$ un subconjunto de $V$. Diremos que $X$ es linealmente independiente si cada subconjunto finito de $X$ es l.i.

Obs: el conjunto vacío es linealmente independiente.

Supongamos que $x=\varnothing$ no es linealmente independiente.

Por definición debe existir un subconjunto finito de $X$ que es linealmente dependiente. Lo cual es una contradicción porque el vacío no tiene elementos.

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Generalizamos el concepto de conjunto generado por vectores.

Recordemos que si $V$ es un F ev y $v_1,\dots ,v_n\in V$ el subconjunto generado por $v_1,\dots ,v_n$ se define como:

$$⟨v_1,\dots ,v_n⟩=\{\dots \}$$

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Sea $V$ un $F-e.v.$ y $X$ cualquier subconjunto de $V$. Se define el subespacio generado por $X$ como $⟨X⟩=\cap S$ S subespacio de $V$, $X\subseteq S$

Obs: $⟨\varnothing ⟩=?$

Por definición $⟨\varnothing ⟩=\cap S$

Todo subespacio de $V$ contiene al conjunto vacío, en particular el subespacio trivial $\{0_V\}$

…

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Hint

Un vector w está en el subespacio generado de X sii este se puede representar como combinación lineal de otro vector en X.

…

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Obs: El conjunto vacío es base del subespacio trivial ya que el conjunto vacío es linealmente independiente y $⟨\varnothing ⟩=\{0_V\}$