Clase 07

matriz

De ahora en adelante, los elementos del campo $F$ los llamaremos escalares.

Producto por escalares

Producto por escalar

Sea $A=(a_{ij})$ una matriz de $m\times n$ y $\lambda \in F$. Definimos $\lambda A$ como la matriz de $m\times n$ cuya entrada $(i,j)$ es $(\lambda A{)}_{(i,j)}=\lambda A_{(i,j)}=\lambda a_{ij}$

Ejemplo:

$\lambda =2$

$$\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{cccc}-1& 5& 3& 8\\ 0& 1& 1& 1\\ 4& 2& 2& 0\end{array}\right)\\ 2A& =\left(\begin{array}{cccc}-2& 10& 6& 16\\ 0& 2& 2& 2\\ 8& 4& 4& 0\end{array}\right)\end{array}$$

Propiedades del producto por un escalar

Sean $A\text{ y }B$ matrices de $m\times n$ y $\alpha ,\beta \in F$

Asociativa

$\alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A$

Neutro

$1_{F}A=A$

Distribución

$\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$

Distribución II

$(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$

\begin{proof}@^a88a93 P.D. $(\alpha (\beta A){)}_{(i,j)}=((\alpha \beta )A{)}_{(i,j)}$

Por ^79f32d tenemos que:

$$\begin{array}{rl}(\alpha (\beta A){)}_{(i,j)}& =(\alpha (\beta A{)}_{(i,j)}{)}_{(i,j)}\\ & =(\alpha (\beta a_{ij}){)}_{(i,j)}\\ & =(\alpha \beta a_{ij})\\ & {}_{\text{Por asociatividad}}\\ & =(\alpha \beta )a_{ij}\\ & =((\alpha \beta )A{)}_{(i,j)}\end{array}$$

\end{proof}

\begin{proof}@^85f5fe

P.D. $(1A{)}_{(i,j)}=(A{)}_{(i,j)}$

Por ^79f32d tenemos que:

$$\begin{array}{rl}(1A{)}_{(i,j)}& =1a_{ij}\\ & =a_{ij}\\ & =(A{)}_{(i,j)}\end{array}$$

\end{proof}

\begin{proof}@^69d19c

P.D. $(\alpha (A+B){)}_{(i,j)}=(\alpha A+\alpha B{)}_{(i,j)}$

Teniendo en cuenta:

• ^79f32d
• ^f59fca
• ^70b466

Tenemos que:

$$\begin{array}{rl}(\alpha (A+B){)}_{(i,j)}& =\alpha (A+B{)}_{(i,j)}\\ & =\alpha (A_{(i,j)}+B_{(i,j)})\\ & =\alpha \left(a_{ij}+b_{ij}\right)\\ & {}_{\text{Por distribucioˊn:}}\\ & =\alpha a_{ij}+\alpha b_{ij}\\ & =\alpha A_{(i,j)}+\alpha B_{(i,j)}\\ & {}_{\text{Por def. suma de matrices}}\\ & =(\alpha A+\alpha B{)}_{(i,j)}\end{array}$$

\end{proof}

\begin{proof}@^f2a63e

P.D. $(\alpha +\beta )A_{(i,j)}=\alpha A_{(i,j)}+\beta A_{(i,j)}$

Teniendo en cuenta:

• ^79f32d
• ^f59fca Tenemos que:

$$\begin{array}{rlr}(\alpha +\beta )A_{(i,j)}& =(\alpha +\beta )a_{ij}& \text{Def. 1}\\ & =\alpha a_{ij}+\beta a_{ij}& \text{Axm. 9}\\ & =\alpha A{(}_{i,j})+\beta A_{(i,j)}& \end{array}$$

\end{proof}

Producto de matrices

Sea $A=(a_{il})$ una matriz de $m\times n$ y $B=(b_{lj})$ una matriz de $n\times q$.

Condición de multiplicidad

El número de columnas de la primer matriz debe ser igual que el número de filas de la segunda.

Producto AB

Consideremos: $1\le i\le m1\le l\le n1\le j\le q$ El producto $A_{m\times n}{B}_{n\times q}$ da una matriz $P_{m\times q}$ cuya entrada $(i,j)$ es: $(AB)(i,j)={\sum }_{l=1}^n{a}_{il}{b}_{lj}$

Otra forma de recordarlo:

Sea $A=(a_{ij})$ de $m\times n$. Denotamos por $A_i$ al $i-$ésimo renglón de $A$, $1\le i\le m$.

$$A_i={\left(\begin{array}{cccc}{a}_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\end{array}\right)}_{1\times n}$$

Denotamos por $A^j$ a la $j-$ésima columna de $A$

$$A^j={\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right)}_{m\times 1}$$

$A_i{B}^j=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_{1j}\\ b_{2j}\\ ⋮\\ b_{nj}\end{array}\right)={\sum }_{l=1}^n{a}_{il}{b}_{lj}=(AB{)}_{(i,j)}$ Es decir:

$$\left(\begin{array}{cccc}{A}_1{B}^1& A_1{B}^2& A_1{B}^j& A_1{B}^q\\ A_2{B}^1& A_2{B}^2& A_2{B}^j& A_2{B}^q\\ A_i{B}^1& A_i{B}^2& A_i{B}^j& A_i{B}^q\\ A_m{B}^1& A_m{B}^2& A_m{B}^j& A_m{B}^q\end{array}\right)$$