Clase 23

Ejemplo de subespacios

Sea…

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\dots a_{1n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{i1}{x}_1+\dots a_{in}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+\dots a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$

… un sistema homogéneo de ecuaciones de $m\times n$.

Una solución del sistema es un vector

$$S=(s_1,\dots s_n)\in F^n$$

tal que para cada $i=1,\dots ,m$:

$$\begin{array}{rl}{a}_{i_1}{s}_1+\cdots +a_{in}{s}_n& =0\\ & =\sum _{i=1}^n{a}_i{s}_i\end{array}$$

Sea $A$ la matriz de coeficientes del sistema y $W=\{s\in F^n|s\text{ es solucioˊn del sistema }Ax=0\}$ $W$ es un subconjunto de $F^n$.

$W$ es un subespacio de $F^n$ llamado el espacio solución del sistema $Ax=0$

Para probar que $W$ es subespacio debemos asegurar que el 0 está incluido, lo cual es cierto, pues existe la solución trivial al ser un sistema homogéneo. Y la suma y el producto por escalar está dentro de la solución del sistema:

\begin{proof}[Demostración de la suma]

$0_{F^n}\in W$ pues el vector cero es solución del sistema $Ax=0$

Sean $s=(s_1,\dots s_n)$ y $t=(t_1,\dots ,t_n)$ soluciones de $Ax=0$

PD $s+t$ es solución de $Ax=0$. Es decir que para cada $i=1,\dots ,m$ ${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}(s_j+t_j)=0$

Como $s$ y $t$ son soluciones, tenemos que para cada $i=1,\dots ,m$ ${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{s}_i=0$ y ${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{t}_j=0$

Por lo tanto:

$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{s}_i+\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{t}_i=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(s_j+t_j)=0$$

Es decir, la suma de dos soluciones, es solución. \end{proof}

\begin{proof}[Demostración del producto por escalar.]

Sea $\alpha \in F$ y $s=(s_1,\dots ,s_n)\in W$

PD Para cada $i=1,\dots ,m$ ${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}(\alpha s_j)=0$

$$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(\alpha s_j)& =\alpha \sum _{j=1}^n{a}_{ij}{s}_j\\ & =\alpha 0\\ & =0\end{array}$$

\end{proof}

Por lo tanto el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones es subespacio de $F^n$.

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Matrices diagonales

Consideremos el espacio de matrices $M_{n\times n}(F)$

Sea $D_n=\{A\in M_{n\times n}(F)|A\text{ es diagonal}\}$ Entonces $D_n$ es subespacio de $M_{n\times n}(F)$.

Hint

La matriz 0 es diagonal. Si yo sumo 2 matrices diagonales, tengo una matriz diagonal. Si multiplico una matriz diagonal por un escalar, obtengo una matriz diagonal.

Matrices triangulares

Sea $T^n=\{A\in M_{n\times n}(F)|A\text{ es triangular superior}\}$ $T^n$ es subespacio de $M_{n\times n}(F)$.

Sea $T_n=\{A\in M_{n\times n}(F)|A\text{ es triangular inferior}\}$ $T^n$ es subespacio de $M_{n\times n}(F)$.

Hint

Se debe mostrar que la matriz 0 es triangular. Y que la suma y el producto por escalar es triangular.

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Subespacio generado por los vectores v1 hasta vm

Sea $V$ un $F-e.v.$ y $v_1,\dots ,v_m$ vectores en $V$. Sea $⟨v_1,\dots ,v_{m⟩}=\{{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{v}_i|{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\in F\}$ Entonces $⟨v_1,\dots ,v_{m⟩}$ es subespacio de $V$, llamado el subespacio generado por $v_1,\dots ,v_m$.

\begin{proof}

a) $0_V\in ⟨v_1,\dots ,v_m⟩$ ya que $0_V=0_F{V}_1+0_F{V}_2+\cdots +0_F{V}_m$ $=0V_1+0V_2+\cdots +0V_m$

b) Sean ${\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{v}_i$ y ${\sum }_{i=1}^m{\beta }_i{v}_i$ vectores en $⟨v_1,\dots ,v_m⟩$, entonces, ${\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{v}_i+{\sum }_{i=1}^m{\beta }_i{v}_i={\sum }_{i=1}^m({\alpha }_i+{\beta }_i)v_i\in ⟨v_1,\dots ,v_m⟩$

c) Sea $\lambda \in F$ y ${\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{v}_i\in ⟨v_1,\dots ,v_m⟩$ Entonces

$$\begin{array}{rl}\lambda \left(\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{v}_i\right)& =\sum _{i=1}^m\lambda ({\alpha }_i{v}_i)\\ & =\sum _{i=1}^m(\lambda {\alpha }_i)v_i\in ⟨v_1,\dots ,v_m⟩\end{array}$$

\end{proof}

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El espacio renglón y el espacio columna de una matriz

Warning

En general la unión de 2 subespacios no es un subespacio.

Hint

Por convención: $⟨\varnothing ⟩=\{0_V\}$

Hint

$\mathcal{L}$ es subespacio de ${\mathbb{R}}^2\iff \mathcal{L}=\{0_{{\mathbb{R}}^2}\}$ ó $\mathcal{L}={\mathbb{R}}^2$ ó $\mathcal{L}$ es una recta que pasa por $(0,0)$

Hint

Las matrices invertibles no son subespacios vectoriales