Clase 30

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Si $V$ un $F-e.v.$ y $S,T$ son subespacios se define la suma de $S+T$ como el conjunto $\{x+y|x\in S,y\in T\}$

En Clase 30 se probo que $S+T$ es subespacio de $V$.

La suma de los subespacios sigue siendo subespacio de $V$.

${\sum }_{i=1}^k{S}_i$

Se prueba por inducción sobre $k\ge 2$ que $s_1+\cdots +s_n={\sum }_{i=1}^k{S}_i$ es subespacio de $V$.

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2 la suma directa…

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4

Sea $V$ un $F-e.v.$ y $S$ y $T$ dos subespacios de $V$. La suma $S+T$ es directa sii cada vector $v\in S+T$ se expresa de manera única como $v=x+y$ donde $x\in S,y\in T$.

\begin{proof} … \end{proof}

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5

Un espacio de dimensión finita es por definición uno creado por una base finita.

Sea $V$ un $F-e.v.$ de dimensión finita y $S$ y $T$ subespacios de $V$.

Si la suma $S+T$ es directa, y $B$ es una base de $S$ y $C$ es una base de $T$, entonces, la unión de $B\cup C$ es base de $S+T$

\begin{proof} Como $V$ es de dimensión finita, $S$ y $T$ también son de dimensión finita, y además, $di{m}_{F}S\le di{m}_{F}V$ y $di{m}_{F}T\le di{m}_{F}V$

Sean $B=\{v_1,\dots ,v_m\}$ base de $S$ y $C=\{w_1,\dots ,w_k\}$ base de $T$.

observemos que $B\cap C=\varnothing$ ya que, si $v_i=w_j$ para algún $1\le i\le m$ y $1\le j\le k$ entonces $v_i=w_j\in S\cap T=\{0_V\}⟹B\text{ y }C$. tienen como elemento al vector cero, pero esto no es posible pues $B$ y $C$ son linealmente independiente.

PD $B\cup C=\{v_1,\dots ,v_m,w_1,\dots ,w_k\}$ es base de $S+T$.

Sea $z\in S+T$, entonces $z=x+y|x\in S,y\in T$

Como $B=\{v_1,\dots ,v_m\}$ es base de $S$, $x$ se expresa como $x={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_m{v}_m$. Como $C=\{w_1,\dots ,w_k\}$…

entonces $z=x+y={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_m{v}_m+{\beta }_1{w}_1+\cdots +{\beta }_k{w}_k$.

$\therefore \{v_1,\dots ,v_m,w_1,\dots ,w_k\}$ genera a $S+T$

PD $\{v_1,\dots ,v_m,w_1,\dots ,w_k\}$ es linealmente independiente.

supongamos que $0_V={\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_m{v}_m+{\beta }_1{w}_1+\cdots +{\beta }_k{w}_k$ entonces…

\end{proof}

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Notación

Si la suma de los subespacios es directa, escribimos $S\oplus T$.

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Próximamente: Sea $V$ un $F-e.v.$ de dimensión finita y $S,T$ subespacios de $V$.

Teorema de las dimensiones: $dim(S+T)=dim(S)+dim(T)-dim(S\cap T)$