Clase 05

Matrices

Sean $m,n\in \mathbb{N}$, una matriz de orden $m\times n$ o tamaño $m\times n$ con entradas en un campo $F$, es un arreglo ordenado de $m$ renglones y $n$ columnas, que representamos en la forma:

$$A=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{a}_{12}\dots a_{1j}{a}_{1j+1}\dots a_{1n}\\ a_{21}{a}_{22}\dots a_{2j}{a}_{2j+1}\dots a_{2n}\\ \text{vdotswithin}\\ \\ a_{i1}{a}_{i2}\dots a_{ij}{a}_{ij+1}\dots a_{in}\\ \text{vdotswithin}\\ \\ a_{m1}{a}_{m2}\dots a_{mj}{a}_{mj+1}\dots a_{mn}\end{array}\right)$$

Notación $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$

La entrada $(i,j)$ de $A$ también la denotamos por: $A(i,j)$

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Matrices cuadradas

Una matriz $A$ se dice que es cuadrada si el número de renglones de $A$ es igual al número de columnas de $A$.

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Matriz identidad

La matriz identidad de $n\times n$ denotada por $I_n=I$ es la matriz cuyas entradas son para cada $1\le i\le n$ y $1\le j\le n$ $I_n(i,j)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ si }i=j\\ 0& \text{ si }i\ne j\end{array}$

Example

$n=1$ : $I_1=(1)$ $n=2$ : $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ $n=3$ : $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

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Matriz cero

La matriz cero de orden $m\times n$, es la matriz que tiene todas sus entradas igualadas a cero.

Example

${\left(\begin{array}{c}0\end{array}\right)}_{1\times 1}$ ${\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)}_{2\times 2}$ ${\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)}_{2\times 1}$ ${\left(\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right)}_{1\times 2}$

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Diagonal de una matriz

Si $A$ es una matriz de $n\times n$, la diagonal de la matriz $A$ está constituida por las entradas $A(i,i)$ para $i=1,\dots ,n$.

Exm

${\left(\begin{array}{ccc}a& & \\ & \ddots & \\ & & b\end{array}\right)}_{3\times 3}$

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Matriz diagonal

Diremos que una matriz $A$ de orden $n\times n$ es diagonal si $A(i,j)=0$ si $i\ne j$. Es decir que todas las entradas de la matriz $A$ que no están en la diagonal, son cero.

Exm

${\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)}_{3\times 3}$

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Matrices canónicas de $m\times n$

Para cada $1\le i\le m$ y $1\le j\le n$ definimos la matriz $E^{ij}$ como la matriz cuya entrada $(k,l)$ está dada por: $E^{ij}(k,l)=\{\begin{array}{llc}1& \text{si}& (k,l)=(i,j)\\ 0& \text{si}& (k,l)\ne (i,j)\end{array}$

Exm

Las matrices canónicas de orden $2\times 3$: $1\le i\le 21\le j\le 3$ $(1,1)(1,2)(1,3)$ $(2,1)(2,2)(2,3)$ $E^{11}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ Es decir la matriz $E^{ij}$ tiene en la entrada $(i,j)$ y cero en todas las demás. Por lo tanto: $E^{11}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ $E^{12}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ $E^{13}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ $E^{21}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ $E^{22}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$ $E^{23}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

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Vectores canónicos de $F^n$

Sea $n\in \mathbb{N}$ , y $F^n=F\times F\times \cdots \times F$ , los elementos de $F^n$ son $n-$adas ordenadas de elementos de $F$. Un elemento típico de $F^n$ es $(a_1,a_2,\dots ,a_n),a_i\in F\forall i$ Los vectores canónicos de $F^n$ denotado por $\overline{e_1},\overline{e_2},\dots ,\overline{e_n}$ están dados por: $\overline{e_i}$ tiene su $i-$ésima coordenada igual a 1 y todas las demás, cero: $\overline{e_i}=({\delta }_{ik}{)}_{k=1}^n$ donde ${\delta }_{ik}=\{\begin{array}{ll}1& i=k\\ 0& i\ne k\end{array}$

Matrices canónicas de $1\times 3:(1,1)(1,2)(1,3)$

$$\begin{array}{r}{E}^{11}=(100)\\ E^{12}=(010)\\ E^{13}=(001)\end{array}$$