Clase 13

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Sistemas de ecuaciones

Vectores

Una ecuación lineal en $n$ variables con coeficientes en un campo $F$ es una expresión formal de la forma:

$$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b$$

donde $a_1,a_2,\dots ,a_n$ y $b\in F$.

Recordemos que $F^n=F\times F\times \cdots \times F=\left\{(x_1,\dots ,x_n)|x_i\in F,\forall i=1,\dots ,n\right\}$.

A estos elementos de $F^n$ los llamaremos vectores.

Solución de ecuación

Una solución de la ecuación $a{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=b$ es un vector $\bar{s}=(s_1,\dots ,s_n)\in F^n$ tal que $a_1{s}_1+\cdots +a_n{s}_n={\sum }_{i=1}^n{a}_i{s}_i=b$

Escritura

Un sistema de $m$ ecuaciones en $n$ variables con coeficientes en un campo $F$, lo escribimos como:

$$\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n& =b_1\\ a_{21}{x}_1+\cdots +a_{2n}{x}_n& =b_2\\ & ⋮\\ a_{i1}{x}_1+\cdots +a_{in}{x}_n& =b_i\\ & ⋮\\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n& =b_m\end{array}$$

Donde $a_{ij}$ es el coeficiente de $x_j$ en la $i-$ésima ecuación.

Solución del sistema

Una solución del sistema es un vector $\bar{s}=(s_1,\dots ,s_n)\in F^n$ tal que $\bar{s}$ es solución de cada una de las ecuaciones del sistema. Esto es $\forall i=1,\dots ,m,{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{s}_j=b_i$

La matriz de coeficientes y la matriz aumentada

Consideremos el sistema

$$\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n& =b_1\\ a_{21}{x}_1+\cdots +a_{2n}{x}_n& =b_2\\ & ⋮\\ a_{i1}{x}_1+\cdots +a_{in}{x}_n& =b_i\\ & ⋮\\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n& =b_m\end{array}$$

Sistema homogéneo

Diremos que el sistema es homogéneo si $b_i=0\forall i=1,\dots ,m$

Sistema no homogéneo

Diremos que es no homogéneo si existe $j,1\le j\le m$ tal que $b_j\ne 0$.

Matriz de coeficientes

Matriz asociada

Matriz aumentada

Matriz aumentada

Resolución de matrices

Sea $A$ una matriz de $m\times n$, entonces existe una única matriz $R$ de $m\times n$ que está en la Forma Escalonada Reducida por filas, que es equivalente a la matriz $A$.

$$A\stackrel{e_1}{\to }{e}_{1}A\cdots \stackrel{e_k}{\to }{e}_1\dots e_{k}A=R$$

Rango por filas de R

Sea $R$ una matriz de $m\times n$ que está FER. Definimos el rango por filas de R como el número de renglones no nulos de $R$. $I_n$

Notación

Escribimos $rang{o}_f(R)$

Remark

$rang{o}_f(R)\le m$

Solución trivial

Supongamos que tenemos las ecuaciones:

$$\{\begin{array}{ll}2x_1-4x_2-6x_3& =0\\ x_1-2x_2+3x_3& =0\end{array}$$

Podemos decir que $\left(0,0,0\right)\in {\mathbb{R}}^3$ es una posible solución, pues al sustituir las variables por ceros, el resultado en ambas ecuaciones, es cero. Esta es llamada la solución trivial. (Solución trivial )

Pasos para encontrar la solución

Paso 1

Encontrar la matriz de coeficientes asociada del sistema (Matriz asociada).

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -4& -6\\ 1& -2& 3\end{array}\right)$$

Paso 2

Aplicamos operaciones elementales por filas hasta obtener la Forma Escalonada Reducida por filas equivalente por filas a $A$.

$$\left(\begin{array}{ccc}2& -4& -6\\ 1& -2& 3\end{array}\right)\stackrel{A_1\to A_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 2& -4& -6\end{array}\right)\stackrel{A_2\to A_2-2A_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 0& -12\end{array}\right)$$ $$\stackrel{A_2\to -\frac{1}{12}{A}_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\stackrel{A_1\to A_1-3A_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=R$$

Paso 3

Traducimos la matriz obtenida a un sistema de ecuaciones

$$\{\begin{array}{ll}{x}_1-2x_2& =0\\ x_3& =0\end{array}$$

Resolvemos:

$$\begin{array}{r}{x}_1=2x_2\\ x_3=0\end{array}$$

Paso 4

Escribimos el conjunto de soluciones:

$$\left\{\left(2x_2,x_2,0\right)|x_2\in \mathbb{R}\right\}$$

Una solución particular sería $(2,1,0)$.

Notación matricial para un sistema de ecuaciones

Consideremos

$$\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n& =b_1\\ & ⋮\\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n& =b_m\end{array}$$

que es representada con la matriz

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ & ⋮& \\ a_{m1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Consideremos la matriz

$$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

Si multiplicamos $Ax$ tenemos:

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ & ⋮& \\ a_{m1}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$ $$\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Por lo tanto, podemos reescribir el sistema de ecuaciones como:

$$Ax=b$$

Ecuaciones equivalentes

Sean $A,A^{\prime }$ matrices de $m\times n$ y $b$ y $b^{\prime }$ matrices de $m\times 1$. Diremos que los sistemas de ecuaciones $Ax=b$ y $A^{\prime }x=b^{\prime }$ son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

$$Ax=0Rx=0$$