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Variables dependientes e independientes
Sea una matriz de con entradas en un campo y que está en Forma Escalonada Reducida por filas, y supongamos que el rango por filas de R es . Observemos que .
Si el renglón es no nulo y el pivote del renglón se encuentra en la columna , las variables son las variables dependientes y las restantes las llamamos variables independientes.
Denotemos por a las variables independientes. Entonces:
\begin{align*} x_{k_{1}} + \sum_{j=1}^{n-r} c_{1j} u_{j} &= 0\ x_{k_{2}} + \sum_{j=1}^{n-r} c_{2j} u_{j} &= 0\ x_{k_{r}} + \sum_{j=1}^{r} c_{rj} u_{j} &= 0 \end{align*}
Hay variables independientes si $n-r > 0$ y en este caso, cada vez que se asigna un valor a cada variable independiente se obtienen valores para las variables dependientes. > Ejemplo 1 Sea\begin{cases} 3x -12y + 2z &= 0\ -x + y + z &= 0\ y - z &= 0\ x + y + z &= 0 \end{cases}
\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \ -1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & -1 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{align*} x &= 0 \ y &= 0 \ z &= 0 \ \end{align*}
\begin{align} -x -y -z = 0 \ x + 5z = 0 \end{align}
\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix}
> c) $x,y$ son variables dependientes. $z$ es la variable independiente ($n-r$)\begin{align*} x + 5z &= 0\ y -4z &= 0 \end{align*}
Por lo que se dice que tiene infinitas soluciones. > [Más ejemplos](https://youtu.be/GSaRdpBRqLU?si=0tfr7BjvH5sMPMwb&t=2930)