Clase 20

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Espacios vectoriales

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Ejemplo 1

Dado $F$ un campo, $F$ es un $F-$espacio vectorial con las siguientes operaciones:

• la suma es, la suma definida en $F$.
• el producto por escalares es, el producto definido en el campo.

Por lo tanto:

• $\mathbb{Q}$ es un $\mathbb{Q}-$ espacio vectorial.
• $\mathbb{R}$ es un $\mathbb{R}-$ espacio vectorial.
• $\mathbb{C}$ es un $\mathbb{C}-$ espacio vectorial.

Ejemplo 2

Sea $F$ un campo y $n\in \mathbb{N}$. El producto cartesiano $F^n=F\times F\times \cdots \times F$ es un $F-$espacio vectorial con las siguientes operaciones.

$$F^n=\left\{(a_1,a_2,\dots ,a_n)|a_i\in F,1\le i\le n\right\}$$

La suma: $(a_1,a_2,\dots ,a_n)+(b_1,b_2,\dots ,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n)$

Un neutro aditivo: $(0,0,\dots ,0)$

Un inverso aditivo: $(-a_1,-a_2,\dots ,-a_n)$

El producto por escalares: $\lambda (a_1,\dots ,a_n)=(\lambda a_1,\lambda a_2,\dots ,\lambda a_n)\lambda \in F$

El espacio cero o espacio trivial

Sea $\{x\}$ un conjunto con un solo elemento. Sea $F$ un campo. $\{x\}$ es un $F-$espacio vectorial con las siguientes operaciones:

$$\begin{array}{rl}x+x& =x\\ \lambda x& =x\forall \lambda \in F\end{array}$$ $$\begin{array}{rlr}x+(x+x)& =x+x& =x\\ (x+x)+x& =x+x& =x\end{array}$$

$x$ es neutro aditivo pues: $x+x=x$. $x$ es inverso aditivo de $x$, pues $x+x=x$. $1_{F}x=x$

$\lambda (\mu x)=\lambda x=x$ $(\lambda \mu )x=x$

$(\lambda +\mu )x=x$ $\lambda x+\mu x=x+x=x$

$\lambda (x+x)=\lambda x=x$ $\lambda x+\lambda x=x+x=x$

Por lo tanto $V=\{x\}$ es un $F-$espacio vectorial.

Nota:

A los elementos de un espacio vectorial los llamamos vectores.

Sean $m,n\in \mathbb{N}$, y sea ${\mathcal{M}}_{m\times n}(F)=\left\{(a_{ij})|a_{ij}\in F,1\le i\le m,1\le j\le n\right\}$

$(a_{ij})+(b_{ij})=(a_{ij}+b_{ij})$ $\lambda (a_{ij})=(\lambda a_{ij})$ $1_F(a_{ij})=(1_F{a}_{ij})=(a_{ij})$

Subespacios vectoriales

subespacio vectorial

Sea $V$ en $F-$espacio vectorial, y $S$ un subconjunto de $V$. Diremos que $S$ es un subespacio de $V$ si satisface:

1. $S\ne \varnothing$
2. $\forall v,v^{\prime }\in S,\underset{S\text{ es cerrado bajo la suma}}{v+v^{\prime }\in S}$
3. $\forall \lambda \in F,\forall v\in S,\underset{S\text{ es cerrado bajo el producto por escalares}}{\lambda v\in S}$