Clase 16

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Ejercicios

1

Obtener la Forma Escalonada Reducida por filas de:

$$\left(\begin{array}{ccc}i& -(1+i)& 0\\ 1& -2& 1\\ 1& 2i& -1\end{array}\right)$$ $$\left(\begin{array}{ccc}i& -(1+i)& 0\\ 1& -2& 1\\ 1& 2i& -1\end{array}\right)\stackrel{A_1\to A_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ i& -(1+i)& 0\\ 1& 2i& -1\end{array}\right)\underset{A_2\to A_2-A_1}{\overset{A_2\to A_2-i{A}_1}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 0& i-1& -i\\ 0& 2+2i& -2\end{array}\right)$$ $$\stackrel{A_3\to \frac{1}{2}{A}_3}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ i& i-1& -i\\ 0& 1+i& -1\end{array}\right)\stackrel{A_2\to \frac{1}{i-1}{A}_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 0& 1& -\frac{i}{i-1}\\ 0& 1+i& -1\end{array}\right)$$ $$\stackrel{A_1\to A_1+2A_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\left(\frac{i}{i-1}\right)+1\\ 0& 1& -\frac{i}{i-1}\\ 0& 1+i& -1\end{array}\right)\stackrel{A_3\to A_3-(1+i)A_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \left(\frac{2i}{i-1}\right)+1\\ 0& 1& -\frac{i}{i-1}\\ 0& 0& \frac{(1+i)i}{i-1}-1\end{array}\right)$$

Resolviendo:

$$\frac{2i}{i-1}\left(\frac{-1-i}{-1-i}\right)+1=\frac{-2i-2i^2}{1-i^2}+1=\frac{2-2i}{2}+1=1-i+1=2-i$$ $$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2-i\\ 0& 1& -\frac{i}{i-1}\\ 0& 0& \frac{(1+i)i}{i-1}-1\end{array}\right)$$

Resolviendo:

$$-\frac{i}{i-1}\left(\frac{-1-i}{-1-i}\right)=-\frac{-i-i^2}{1-i^2}=-\left(\frac{1-i}{2}\right)=\frac{-1+i}{2}$$ $$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2-i\\ 0& 1& \frac{-1+i}{2}\\ 0& 0& \frac{(1+i)i}{i-1}-1\end{array}\right)$$

Resolviendo:

$$\frac{(1+i)i}{i-1}-1=\frac{i+i^2}{i-1}-1=\frac{-1+i}{i-1}-1=\frac{-1+i}{i-1}\left(\frac{-1-i}{-1-i}\right)-1$$ $$=\frac{1+i-i-i^2}{-i^2+1}-1=\frac{2}{2}-1=0$$

Por lo que queda la matriz:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2-i\\ 0& 1& \frac{-1+i}{2}\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

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Soluciones no triviales

En sistemas homogéneos

Sea $R$ una matriz de $m\times n$ que está en la Forma Escalonada Reducida por filas. El sistema de ecuaciones $Rx=0$ tiene solución no trivial sii $n-rang{o}_f(R)>0$. Es decir, si el número de columnas menos el rango de $R$ es mayor a cero.

\begin{proof}

Supongamos que el sistema $Rx=0$ tiene solución no trivial.

Supongamos que el $rang{o}_f(R)=r$ y que el pivote del renglón $R_i$ se encuentra en la columna $k_i$ para cada $1\le i\le r$.

El sistema de ecuaciones en la forma

$$x_{k_i}+\sum _{k=1}^{n-r}{c}_{kj}{u}_j$$

Donde $u_1,\dots ,u_{n-r}$ son las variables dependientes

Si $n=r$, entonces, todas las columnas de $R$ son columnas pivote. Por lo que la matriz sería una matriz identidad, por lo que la solución es trivial:

$$(0,0,\dots ,0)$$

Por hipótesis, el sistema tiene solución no trivial, por lo que $n-r>0$

Si $n-r>0$, hay columnas de $R$ que no son columnas pivote.

Sea $u_1,\dots ,u_{n-r}$ las variables independientes. Cada variable dependiente se obtiene un valor para ella una vez asignamos valores a las variables independientes. \end{proof}

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Soluciones no triviales

En sistemas no homogéneos.

Sea $(R|c)$ una matriz de $m\times (n+1)$ que está en la Forma Escalonada Reducida por filas. El sistema $Rx=c$ tiene solución $sii$ el rango por filas de $R$ es igual al rango por filas de $(R|c)$. Además, si el sistema tiene solución, entonces tenemos las siguientes posibilidades:

• $m<n$
• $n<m$
• $m=n$

Si $m<n$

Entonces el sistema tiene infinidad de soluciones.

Si $n<m$

Tenemos dos posibilidades:

$r<n$

Hay un número infinito de soluciones

$r=n$

Hay una única solución.

$m=n$

Entonces $r\le n$ y en este caso:

$r<n$

Número infinito de soluciones.

$r=n$

Hay una única solución.

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