Clase 17

video:

Matriz invertible

Sea $A$ una matriz de $n\times n$, $A$ es invertible si existe una matriz $B$ de $n\times n$ tal que

$$AB=I=BA$$

Matriz inversa

Sea $A$ una matriz de $n\times n$, entonces, existe una única matriz $B$ de $n\times n$ tal que $AB=I=BA$.

\begin{proof}

Supongamos que B y B’ son matrices de $n\times n$ tales que $AB=I=BA$ y $A{B}^{\prime }=I=B^{\prime }A$

PD $B=B^{\prime }$

$B^{\prime }=B^{\prime }I=B^{\prime }(AB)=(B^{\prime }A)B=IB=B$

\end{proof}

$B$ se llama la inversa de $A$ y la denotamos como $A^{-1}$.

Matriz inversa de I

La matriz identidad $I$ de $m\times n$ es invertible, ya que $II=I$. En particular $I^{-1}=I$.

Inversa de productos

Si $A$ y $C$ son matrices invertibles, entonces $AC$ es invertible y $(AC{)}^{-1}=C^{-1}{A}^{-1}$.

\begin{proof}

Probemos que

$$(AC)(C^{-1}{A}^{-1})=I\text{y}(C^{-1}{A}^{-1})(AC)=I$$

luego, se sigue por la unicidad de la inversa que $(AC{)}^{-1}=C^{-1}{A}^{-1}$.

Comenzando:

$$\begin{array}{rl}(AC)(C^{-1}{A}^{-1})& =A(C{C}^{-1})A^{-1}\\ & =AI{A}^{-1}\\ & =A{A}^{-1}\\ & =I\end{array}$$

Por otro lado:

$$\begin{array}{rl}(C^{-1}{A}^{-1})(AC)& =C^{-1}(A^{-1}A)C\\ & =C^{-1}IC\\ & =C^{-1}C\\ & =I\end{array}$$

\end{proof}

Inversa de productos extensos

Sean $A_1,A_2,\dots ,A_r$ matrices invertibles de $n\times n$, entonces el producto $A_1{A}_2\dots A_n$ es invertible y

$$(A_1{A}_2\dots A_n{)}^{-1}=A_n^{-1}{A}_{n-1}^{-1}\dots A_2^{-1}{A}_1^{-1}$$

Matriz elemental

Sea $E$ una matriz de $n\times n$, $E$ es una matriz elemental si existe una operaciones elementales por filas $e$, tal que: $E=eI$

Operación elemental inversa

Sea $e$ una operación elemental por filas. Entonces $e^{-1}$ es su operación inversa:

$$\begin{array}{rl}A\stackrel{e}{\to }eA\stackrel{e^{-1}}{\to }{e}^{-1}eA& =A\\ A\stackrel{e^{-1}}{\to }{e}^{-1}A\stackrel{e}{\to }e{e}^{-1}A& =A\end{array}$$

Multiplicación de una Matriz elemental con otra

Sea A una matriz de $n\times n$ y $E^{ij}$ una matriz canónica de $n\times n$

^92e293

, entonces:

$E^{ij}A$ Es la matriz de $n\times n$ cuyo $i-$ésimo renglón es igual al $j-$ésimo renglón de $A$ y todos los demás renglones de $E^{ij}A$ son $0$.

Formas de una matriz elemental

Lemma

Una matriz elemental $E$ de $n\times n$ es de una de las siguientes formas: a) $E=eI$ si $e$ es $i\leftrightarrow ji\ne j$ $E=I-E^{ii}-E^{jj}+E^{ij}+E^{ji}j\ne i$ b) Si $e$ es $i\to cic\ne 0$ $E=I-E^{ii}+c{E}^{ii},c\ne 0$ c) Si $e$ es $i\to i+cji\ne j,c\in F$ $E=I+c{E}^{ij}c\in F,i\ne j$

Ejemplo: b)

$${\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}_I\underset{A_2\to 3A_2}{\overset{e}{\to }}{\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}_{eI=E}$$ $$\begin{array}{rl}i& =2\text{Por el segundo rengloˊn }{A}_2\\ c& =3\end{array}$$ $${\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}_E={\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}_I-{\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)}_{E^{ii}}+3{\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)}_{c{E}^{ii}}$$ $$\begin{array}{rl}& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

Ejemplo de cómo encontrar la matriz inversa, en el video, minuto 51.