Clase 27

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1

Sea $V$ un $F - e . v .$ y $X \subseteq V$ un conjunto finito de vectores linealmente independientes, entonces cualquier subconjunto de este conjunto es l.i.

\begin{proof} Sean $v_{1}, \dots, v_{k} \in X$

PD ${v_{1}, \dots, v_{k}} \subseteq X$ es l.i.

sup que $0_{V} = α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k}$

Llamemos $v_{k + 1}, \dots, v_{m}$ …

Como $X = {v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1}, \dots, v_{n}}$ es l.i. Entonces $α_{1} = \dots = α_{k} = 0$ Por lo tanto ${v_{1}, \dots, v_{k}}$ es l.i.

\end{proof}

2

Matriz, con $m > n$ tiene solución no trivial.

\begin{proof} Sea R la forma de Hermit de A. Como A y R son equivalentes por filas, los sistemas Ax = 0 y Rx = 0 son equivalentes. Esto es, tienen el mismo conjunto de soluciones.

Probaremos que el sistema $R x = 0$ tiene solución no trivial.

Sea $r$ el rango por filas de $R$ que es igual al número de renglones no nulos de $R$ .

El número de renglones de $R = m$ El número de columnas de $R = n$ Por HI $m > n$ $r \leq m < n ⟹ r < n ⟹ n - r > 0$ Por lo que el sistema $R x = 0$ tiene solución no trivial. \end{proof}

3

Def

Sea $V$ un $F - e . v .$ finítamente generado y ${v_{1}, \dots, v_{m}}$ un conjunto de generadores de $V$ . Entonces cualquier subconjunto linealmente independiente de $V$ tiene a lo más $m$ vectores.

\begin{proof}

Probaremos que cualquier subconjunto de $V$ con más de $m$ vectores es linealmente dependiente.

Sea ${w_{1}, \dots, w_{n}}$ un subconjunto de $V$ y supongamos que $n > m$ .

PD ${w_{1}, \dots, w_{n}}$ es l.d.

Como los vectores generan a $V$ , entonces para cada $1 \leq j \leq n$ , el vector $w_{j}$
…

existen escalares $a_{1 j}, \dots, a_{mj} \in F$ tales que $w_{j} = a_{1 j} v_{1} + a_{2 j} v_{2} + \dots + a_{mj} v_{m} = \sum_{i = 1}^{m} a_{ij} v_{j}$

Consideremos la matriz:

A = (a_{ij}) = a_{11} a_{m 1} \dots ⋮ \dots a_{1 n} a_{mn}

La columna 1 es $w_{1}$ , la última columna es $w_{n}$ .

Ahora bien, el sistema homogéneo $A x = 0$ tiene solución no trivial, ya que $n > m$ .

Sea $s = (s_{1}, \dots, s_{n}) \in F^{n}$ una solución no trivial de $A x = 0$

a_{11} a_{m 1} \dots ⋮ \dots a_{1 n} a_{mn} s_{1} ⋮ s_{n} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} s_{j} ⋮ \sum_{j = 1}^{n} a_{mj} s_{j} = 0

Entonces $s_{1} w_{1} + \dots + s_{n} w_{n} = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} (a_{ij} s_{j}) v_{i} = 0_{V}$

Esta es una combinación lineal no trivial de los vectores $w_{1}, \dots, w_{n}$ ya que al menos uno de los escalares $s_{1}, \dots, s_{n}$ es no nulo. De aqui que ${w_{1}, \dots, w_{n}}$ es l.d.

\end{proof}

4

Sea $V$ un $F - e . v .$ finitamente generado, entonces, cualesquiera dos bases de $V$ tienen el mismo número de elementos.

\begin{proof} Supongamos que $B = {v_{1}, \dots, v_{m}}$ y $C = {w_{1}, \dots, w_{n}}$ son bases de $V$ .

PD $n = m$

Tenemos que: a) ${v_{1}, \dots, v_{m}}$ genera a $V$ y ${w_{1}, \dots, w_{n}}$ es l.i. por (3) $n \leq m$ b) ${w_{1}, \dots, w_{n}}$ genera a $V$ y ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ es l.i. por (3) $m \leq n$

Por lo tanto $m = n$ . \end{proof}

5

Dimensión de V sobre F

Sea $V$ un espacio finitamente generado. Definimos la dimensión de $V$ sobre $F$ como el número de vectores de cualquier base de $V$ . Y lo denotamos como $d i m_{F} V$

6

Ejemplos:

a) $d i m_{F} F^{n} = n$

ya que la base canónica de $F^{n}$ tiene $n$ elementos.

b) $d i m_{F} M_{m \times n} (F) = mn$

Un caso particular sería $d i m_{F} M_{3 \times 2} (F)$

a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} = a_{11} 100000 + a_{12} 000100 + a_{21} 010000 + a_{22} 000010 + a_{31} 001000 + a_{32} 000001

Las matrices canónicas de $3 \times 2$ generan una dimensión de 6 vectores.

De manera general:

a_{11} a_{m 1} \dots ⋮ \dots a_{1 n} a_{mn} = a_{11} E^{11} + \dots + a_{mn} E^{mn}

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