Clase 02

Ley de la cancelación para la suma $F$ un campo. Si $a+b=a+c$ donde $a,b,c\in F$. Entonces $b=c$.

Sea

Ley de la cancelación para el producto

Si $ab=ac$ donde $a,b,c\in F$ y $a\ne 0_F$, entonces $b=c$

Prp

Sea $F$ un campo, entonces, a) $0_F\cdot a=0_F\forall a\in F$ b) $-1\cdot a=-a\forall a\in F$, donde $-1$ es el inverso aditivo de $1=1_F$ c) $-(-a)=a\forall a\in F$ d) $-(ab)=(-a)b=a(-b)$

Dem: a)

$$\begin{array}{rl}{0}_F+0_F\cdot a=0_F\cdot a& =(0_F+0_F)a\\ & =0_{F}a+0_{F}a\\ 0_F+\cancel{0_{F}a}& =0_{F}a+\cancel{0_{F}a}\\ 0_F=0_{F}a& \end{array}\text{\hspace{1em}(Por ley de cancelacioˊn)}$$

b)

Probaremos que $-1\cdot a$ es un inverso aditivo de $a$ y después probaremos el hecho de que el inverso aditivo de $a$ es único, para concluir que $-1\cdot a=-a$.

$$\begin{array}{rl}-1\cdot a+a& =(-1+1)a\\ & =0a\\ & =0\end{array}$$

c)

Por la unicidad del inverso aditivo de $-a$ Probaremos que $a+(-a)=0$ , es decir, que $a$ es inverso aditivo de $-a$.

$$\begin{array}{rl}-a+a& =(-1+1)a\\ & =0\end{array}$$

d)

Tarea: Probar que $-(ab)=a(-b)$

Probaremos que $-(ab)=(-a)b$ . Por la unicidad del inverso aditivo de $ab$ basta probar que $ab+(-a)b=0$

$$\begin{array}{rl}ab+(-a)b& =(a+(-a))b\\ & =(0)b\\ & =0\end{array}\text{\hspace{1em}(□)}$$

Tarea:

Probaremos que $-(ab)=a(-b)$. Por la unicidad del inverso aditivo basta probar que $ab+a(-b)=0$

$$\begin{array}{rl}ab+a(-b)& =a(b-b)\\ & =a(0)\\ & =0\end{array}\text{\hspace{1em}(□)}$$

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campo mínimo

Sea $\Gamma =\left\{a,b\right\},a\ne b$

Tenemos un mínimo de 2 elementos porque uno de ellos debe ser el neutro aditivo, y el otro, el neutro multiplicativo, no puede ser el mismo que el neutro aditivo.

Operaciones de suma:

+	a	b
a	a	b
b	b	a

Operaciones de multiplicación:

$\cdot$	a	b
a	a	a
b	a	b

Revisión de las propiedades:

$$\begin{array}{r}(a+b)b=b\cdot b=b\\ ab+bb=a+b=b\end{array}$$

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Racionales

Sea $\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\left\{a+b\sqrt{2}|a,b\in \mathbb{Q}\right\}$, un campo.

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subseteq \mathbb{R}$

$(a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=a+c+(b+d)\sqrt{2}$ donde $a+c,(b+d)\in \mathbb{Q}$