Clase 06

Matrices elementales

Sean $m,n\in \mathbb{N}$. Para cada $1\le i\le m$ y $1\le j\le n$ definimos la matriz $E^{ij}$ de $m\times n$ como la matriz cuya entrada $(i,j)$ es igual a 1 y todas las demás son cero.

Ejemplo:

Una matriz de $3\times 2$:

$$E^{21}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

Matrices elementales

Para cada $1\le k\le m$ y $1\le l\le n$ , la entrada $(k,l)$ de la matriz $E^{ij}$ es: $E^{i,j}=\{\begin{array}{llc}1& \text{si }& (k,l)=(i,j)\\ 0& \text{si}& (k,l)\ne (i,j)\end{array}$

Suma de matrices

Suma de matrices

Sean $A=(a_{ij})$ y $B=(b_{ij})$ matrices de $m\times n$. Definimos la suma $A+B$ como la matriz de $m\times n$ y cuyas entradas son $(A+B{)}_{(ij)}:=A_{(i,j)}+B_{(i,j)}=a_{ij}+b_{ij}$ para cada $1\le i\le m$ y $1\le j\le n$ .

Ejemplo

$$\left(\begin{array}{cccc}3& -5& 6& \sqrt{2}\\ 8& 7& 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}0& -1& 1& 1\\ \frac{1}{2}& 2& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}3& -6& 7& 1+\sqrt{2}\\ \frac{17}{2}& 9& 1& 1\end{array}\right)$$

Propiedades de la suma de matrices

Sean $A=(a_{ij}),B=(b_{ij}),C=(c_{ij})$ matrices de $m\times n$.

Conmutativa

$A+B=B+A$

Asociativa

$(A+B)+C=A+(B+C)$

Neutro aditivo

La matriz cero es neutro aditivo $A+(0{)}_{m\times n}=A$

inverso aditivo

Para cada matriz $A_{m\times n}$ existe una matriz $A_{m\times n}^{\prime }|A+A^{\prime }=(0{)}_{m\times n}$

\begin{proof}@^01625e

Para probar que $A+B=B+A$ , debemos mostrar que para cada $1\le i\le m$ y $1\le j\le n$:

$$(A+B{)}_{(ij)}=(B+A{)}_{(ij)}$$

Por ^70b466

$$\begin{array}{rl}(A+B{)}_{(ij)}& =A_{(i,j)}+B_{(i,j)}=a_{ij}+b_{ij}\\ & {}_{\text{Por conmutatividad de los reales:}}\\ & =b_{ij}+a_{ij}=B_{ij}+A_{ij}=(B+A{)}_{(ij)}\end{array}$$

\end{proof}

\begin{proof}@^45ca0b

Para probar que $A+(B+C)=(A+B)+C$, hay que mostrar que para cada $1\le i\le m$ y $1\le j\le n$:

$$(A+(B+C){)}_{(i,j)}=((A+B)+C{)}_{(i,j)}$$

Por ^70b466 :

$$\begin{array}{rl}(A+(B+C){)}_{(i,j)}& =A_{(i,j)}+(B+C{)}_{(i,j)}\\ & =A_{(i,j)}+(B_{(i,j)}+C_{(i,j)})\\ & =a_{i,j}+(b_{i,j}+c_{i,j})\\ & {}_{\text{Por asociatividad de los reales:}}\\ & =(a_{i,j}+b_{i,j})+c_{i,j}\\ & =(A_{(i,j)}+B_{(i,j)})+C_{(i,j)}\\ & =((A+B{)}_{(i,j)})+C_{(i,j)}\\ & =((A+B)+C{)}_{(i,j)}\end{array}$$

\end{proof}

\begin{proof}@^cbda59

Debemos probar que $A+(0)=A$, para esto, hay que mostrar que para cada $1\le i\le m$ y $1\le j\le n$:

$$(A+0{)}_{(i,j)}=A(i,j)$$

Por ^70b466 tenemos que:

$$\begin{array}{rl}(A+0{)}_{(i,j)}=A_{(i,j)}+0(i,j)& =a_{ij}+0_F\\ & =a_{ij}=A(i,j)\end{array}$$

\end{proof}

\begin{proof}@^5fa02e

Sea $A=a_{ij}$. Queremos encontrar $A^{\prime }=a_{ij}^{\prime }$ de $m\times n|A+A^{\prime }=0$

Tenemos entonces:

$$\begin{array}{rl}A+A^{\prime }& =a_{ij}+a_{ij}^{\prime }=0\\ & {}_{\text{Por inverso aditivo de los reales tenemos que:}}\\ & a_{ij}^{\prime }=-a_{ij}\end{array}$$

Para cada $1\le i\le m$ y $1\le j\le n$. \end{proof}