Clase 22

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Subespacios vectoriales

Continuación de Subespacios vectoriales

^c6fd64

Def

Sea $V$ un $F-e.v.$ y $S\subseteq V$. Son equivalentes si

1. $S$ es subespacio de $V$.
2. $0_V\in S$ y $\forall \alpha ,\beta \in F$ y $v,v^{\prime }\in S,\alpha v+\beta v^{\prime }\in S$.

\begin{proof}@^124107

$1.⟹2.$

Como $S\ne \varnothing$, podemos tomar $v\in S$. Como $S$ es cerrado bajo producto por escalares: $-1v\in S$ Y como $-1v=-v$, entonces $-v\in S$. Y como es cerrado bajo la suma: $v+(-v)=0_v\in S$.

Ahora, sean $\alpha ,\beta \in F$ y $v,v^{\prime }\in S$ Como $S$ es cerrado bajo producto por escalares: $\alpha v$ y $\beta v^{\prime }\in S$ Y como $S$ es cerrado bajo la suma: $\alpha v+\beta v^{\prime }\in S$.

$2.⟹1.$

Se debe probar que no es vacío. Pero por Hipótesis, $0_V\in S$, por lo tanto, no es vacío.

Se debe probar que es cerrado para la suma, pero por hipótesis se tiene que $\alpha v+\beta v^{\prime }\in S$. Por lo tanto, es cerrado para la suma.

Se debe probar que si tomo un vector en S y cualquier escalar, el producto está en S, pero nuevamente por hipótesis: $\alpha v+\beta v^{\prime }\in S$.

\end{proof}

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La intersección de cualquier cantidad de subespacios es un subespacio.

Sea $v$ un $F-e.v.$ y $S_1,\dots ,S_k$ subespacios de $V$. Entonces $S_1\cap \cdots \cap S_k=\bigcap _{i=1}^k{S}_i$ es subespacio de $V$.

\begin{proof}

Hay que mostrar que el vector 0 está ahí. Así como que sea cerrado en la suma y el producto:

$0_V\in \bigcap _{i=1}^k$ pues $0_v\in S_i\forall i=1,\dots ,k$.

Sean $\alpha ,\beta \in F$ y $v,v^{\prime }\in \bigcap _{i=1}^k{S}_i$ Entonces $v,v^{\prime }\in S_i\forall i=1,\dots ,k$ Como $S_i$ es subespacio, $\alpha v+\beta v^{\prime }\in S_i\forall i=1,\dots ,k⟹\alpha v+\beta v^{\prime }\in \bigcap _{i=1}^k{S}_i$ \end{proof}

Ejemplos

a) El subespacio trivial El conjunto $\{0_v\}$ es subespacio de $V$. Trivialmente, $0_V\in \{0_V\}$ Sean $\alpha ,\beta \in F$ $\alpha 0_V+\beta 0_V=0_V+0_V=0_V$ Se llama el subespacio cero o subespacio trivial y también se acostumbra a denotarlo como 0. $S=0$

b) Si $V$ es un $F-e.v.$ entonces $V$ es subespacio de $V$.

c) Sea $V$ un $F-e.v.$ y $v\in V$ $⟨v⟩=\left\{\lambda v|\lambda \in F\right\}$ $⟨v⟩$ es subespacio de $v$, llamado el subespacio cíclico generado por $v$. \begin{proof} $0_V\in ⟨v⟩$ ya que $0_v=0_{F}v$ Sean $\alpha ,\beta \in F$ y $\lambda v,\mu v\in ⟨v⟩$: $\alpha (\lambda v)+\beta (\mu v)=(\alpha \lambda )v+(\beta \mu )v=(\alpha \lambda +\beta \mu )v\in ⟨v⟩$ \end{proof}

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Combinaciones lineales

Combinaciones lineales o $F-$lineales

Sea $V$ un $F-e.v.$, $v_1,\dots ,v_n\in V$ y ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in F$ ( no necesariamente distintos). El vector ${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\cdots +{\lambda }_n{v}_n={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i$ se llama una combinación lineal de $v_1,\dots ,v_n$.

Def

Sea $V$ in $F-e.v.$ Sean $v_1,\dots v_n\in V$ y $w\in V$ Diremos que $w$ es combinación lineal de $v_1,\dots ,v_n$ si existen escalares ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in F$ tales que: $w={\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_n{v}_n$

¿Es $w$ combinación lineal de $v_1$ y $v_2$?

Sea $V={\mathbb{R}}^3$

$$\begin{array}{rl}(-1,0,0)& =v_1\\ (0,2,1)& =v_2\\ & \\ (1,1,1)& =w\end{array}$$

Para responder esto, planteamos la ecuación vectorial:

$$\begin{array}{rl}(1,1,1)& =\lambda (-1,0,0)+\mu (0,2,1)\\ & =(-\lambda ,0,0)+(0,2\mu ,\mu )\\ & =(-\lambda ,2\mu ,\mu )\end{array}$$

Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\{\begin{array}{ll}-\lambda & =1\\ 2\mu & =1\\ \mu & =1\end{array}$$

Por lo tanto, no tiene solución el sistema, y por tanto $w$ no es combinación lineal de $v_1$ y $v_2$.

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Subespacio generado

Sea $V$ un $F-e.v.$ y $v_1,\dots ,v_n\in V$ Sea $⟨v_1,\dots ,v_n⟩=\{{\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_n{v}_n|{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in F\}$ $⟨v_1,\dots ,v_n⟩$ es un subespacio de $V$ llamado el subespacio generado por $v_1,\dots ,v_n$

Ejemplo 1

Consideremos

$$V={\mathcal{M}}_{2\times 2}(F)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)|a,b,c,d\in F\right\}$$

Sean las matrices canónicas:

$$E^{11}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)E^{22}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

¿Quiénes son las matrices generadas por?

$$⟨\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)⟩=?$$

El subespacio generado es:

$$⟨E^{11},E^{22}⟩=\{\lambda E^{11}+\mu E^{22}|\lambda ,\mu \in F\}$$

Es decir, una matriz $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ pertenece a $⟨E^{11},E^{22}⟩\iff$ existen $\lambda ,\mu \in F$ tales que

$$A=\lambda E^{11}+\mu E^{22}$$ $$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+\mu \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \mu \end{array}\right)$$

Es decir, una matriz pertenece a ese subespacio si y sólo si dicha matriz es diagonal.

Ejemplo 2

Consideremos

$$V={\mathcal{M}}_{2\times 2}(F)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)|a,b,c,d\in F\right\}$$

Sean las matrices canónicas:

$$E^{12}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)E^{21}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$$

¿Quiénes son las matrices generadas por?

$$⟨\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)⟩=?$$

Siguiendo los pasos anteriores nos queda:

$$\left(\begin{array}{cc}0& \lambda \\ \mu & 0\end{array}\right)$$