Clase 15

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Ejercicio 1

Determinar si el sistema tiene solución y en caso afirmativo, encontrar todas las soluciones:

$$\{\begin{array}{ll}2x+y-2z+3w& =1\\ 3x+2y-z+3w& =4\\ 3x+3y+3z+3w& =5\end{array}$$

Dado un sistema de ecuaciones

$$\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n& =b_1\\ & ⋮\\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n& =b_m\end{array}$$

La matriz aumentada del sistema es

$$A|b=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}& \mid & b_1\\ & ⋮& & |& ⋮\\ a_{m1}& \dots & a_{mn}& |& b_m\end{array}\right)$$

Paso 1

Encontrar la matriz aumentada del sistema.

$$\left(\begin{array}{cccccc}2& 1& -2& 3& |& 1\\ 3& 2& -1& 3& |& 4\\ 3& 3& 3& 3& |& 5\end{array}\right)$$

Paso 2

Obtener la Forma Escalonada Reducida por filas de $A|b$

$$\left(\begin{array}{cccccc}2& 1& -2& 3& |& 1\\ 3& 2& -1& 3& |& 4\\ 3& 3& 3& 3& |& 5\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& -3& 0& |& 6\\ 0& 1& 4& 0& |& -1\\ 0& 0& 0& 1& |& -\frac{10}{3}\end{array}\right)$$

Como el rango de $A$ y el rango de $b$ coinciden, entonces, el sistema tienen solución.

Paso 3

Análisis

$$\begin{array}{rl}x-3z& =6\\ y+4z& =-1\\ w& =-\frac{10}{3}\end{array}$$

Por lo que, las soluciones del sistema son

$$\left\{\left(3z+6,-1-4z,z,-\frac{10}{3}\right)|z\in \mathbb{R}\right\}$$

Ejercicio 2

Encuentra todos los valores $c$ y $k$ en los números reales tales que el sistema:

$$\{\begin{array}{l}2x-cy=8\\ 3x+9y=k\end{array}$$

• No tiene solución
• Tiene una única solución
• Tiene infinidad de soluciones

Aplicamos operaciones elementales por filas para la matriz aumentada del sistema:

$$\left(\begin{array}{cccc}2& -c& |& 8\\ 3& 9& |& k\end{array}\right)\stackrel{R_2\to -\frac{3}{2}{R}_1+R_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}2& -c& |& 8\\ 0& -\frac{3}{2}c+9& |& k-12\end{array}\right)$$ $$\stackrel{R_2\to 2R_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}2& -c& |& 8\\ 0& -3c+18& |& 2k-24\end{array}\right)$$

Tenemos dos casos: $3c+18=0$ ó $3c+18\ne 0$

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Si $3c+18=0$, entonces la matriz es:

$$\left(\begin{array}{cccc}2& -c& |& 8\\ 0& 0& |& 2k-24\end{array}\right)$$

Si $2k=24$, el rango de $A$ sería igual al rango de $b$ (1), por lo que tendría solución.

$$\left(\begin{array}{cccc}2& -c& |& 8\\ 0& 0& |& 0\end{array}\right)$$

Por lo que queda:

$$2x+6y=8$$

Por lo tanto, si $c=-6$ y $k=12$, el sistema tiene una infinidad de soluciones.

Si $2k-24\ne 0$

$$\left(\begin{array}{cccc}2& -c& |& 8\\ 0& 0& |& w\end{array}\right)$$

Como el $rang{o}_{f}R=1$ y el rango $rang{o}_f(R|b)=2$, no tiene solución.

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Si $3c+18\ne 0$

$$\left(\begin{array}{cccc}2& -c& |& 8\\ 0& 3c+18\ne 0& |& 2k-24\end{array}\right)\stackrel{R_2\to \frac{1}{3c+18}{R}_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}2& -c& |& 8\\ 0& 1& |& \frac{2k-24}{3c+18}\end{array}\right)$$ $$\stackrel{R_1\to R_1+c{R}_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}2& 0& |& 8+c(\frac{2k-24}{3c+18})\\ 0& 1& |& \frac{2k-24}{3c+18}\end{array}\right)$$

Como el $rang{o}_{f}R=2$ y el rango $rang{o}_f(R|b)=2$, tiene solución.

$$x=\frac{c}{2}\left(\frac{2k-24}{3c+18}\right)+4$$ $$y=\frac{2k-24}{3c+18}$$

El sistema tiene una única solución para cualquier $c$ y para cualquier $k$.

Ejercicio 13

Sea $Rx=b$ un sistema de $m$ ecuaciones en $n$ variables, supongamos que $(R|b)$ está en la Forma Escalonada Reducida por filas. El sistema tiene solución sii el rango por filas de R es igual al rango por filas de $b$:

$$rang{o}_f(R)=rang{o}_f(R|b)$$