Clase 21

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Unicidad del neutro aditivo

El neutro aditivo es único

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $F$. Entonces, existe un único neutro aditivo en $V$.

\begin{proof}

Supongamos que $e$ y $e^{\prime }$ son neutros aditivos de $V$.

PD

$e=e^{\prime }$

Tenemos que:

$$\begin{array}{rlr}{e}^{\prime }& =e+e^{\prime }& \text{porque e es neutro aditivo}\\ & =e& \text{porque e’ es neutro aditivo}\end{array}$$

\end{proof}

Unicidad del inverso aditivo

El inverso aditivo es único

Para $v\in V$ Existe un único inverso aditivo de $v$.

\begin{proof}

Supongamos que $v^{\prime }$ y $v^{\prime \prime }$ son inversos aditivos de $v$.

PD

$v^{\prime }=v^{\prime \prime }$

Tenemos que

$$\begin{array}{rl}{v}^{\prime }& =v^{\prime }+e\\ & =v^{\prime }+(v+v^{\prime \prime })\\ & =(v^{\prime }+v)+v^{\prime \prime }\\ & =e+v^{\prime \prime }\\ & =v^{\prime \prime }\end{array}$$

\end{proof}

Notación

Denomamos $0=0_V$ al neutro aditivo de $V$ y lo llamamos el vector cero.

Para cada $v\in V$, denotamos por $-v$ al inverso aditivo de $v$.

Leyes de cancelación

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $F$.

Prp

Si $\cancel{v}+w=\cancel{v}+z$, donde $v,w,z\in V$, entonces $w=z$.

\begin{proof} Tenemos que $v+w=v+z$. Sumamos $-v$ a ambos lados de la igualdad:

$$\begin{array}{rl}-v+(v+w)& =-v+(v+z)\\ (-v+v)+w& =(-v+v)+z\\ 0_V+w& =0_V+z\\ w& =z\end{array}$$

\end{proof}

Prp

Si $\lambda v=0_V$, entonces $\lambda =0$ ó $v=0_V$.

\begin{proof}

Tenemos que $\lambda v=0_V$

1

Supongamos que $\lambda \ne 0$

PD

$v=0_V$

Como $\lambda \ne 0$ multiplicamos por ${\lambda }^{-1}$ la igualdad:

$$\begin{array}{rlr}{\lambda }^{-1}(\lambda v)& ={\lambda }^{-1}{0}_V& \\ ({\lambda }^{-1}\lambda )v& =0_V& \text{(*)}\\ 1_{F}v& =0_V& \\ v& =0_V& \end{array}$$ $$\begin{array}{rlr}{\lambda }^{-1}{0}_V& =0_V+{\lambda }^{-1}{0}_V& \ast \\ 0_V+{\lambda }^{-1}{0}_V& ={\lambda }^{-1}(0_V+0_V)& \\ 0_V+\cancel{{\lambda }^{-1}{0}_V}& ={\lambda }^{-1}{0}_V+\cancel{{\lambda }^{-1}{0}_V}& \\ 0_V& ={\lambda }^{-1}{0}_V& \end{array}$$

2

Supongamos que $v\ne 0_V$

PD

$\lambda =0$

Si $\lambda \ne 0$, entonces, por lo anterior, $v=0_V!$ $\therefore \lambda =0$

\end{proof}

---

Sea $V$ un $F-e.v.$ ($F$- espacio vectorial). Entonces:

Prp

$\lambda 0_V=0_V\forall \lambda \in F$

\begin{proof}

Tenemos que:

$$\begin{array}{rl}\lambda 0_v& =0_V+\lambda 0_v\\ \lambda 0_v& =\lambda (0_V+0_V)\\ \therefore 0_V+\lambda 0_v& =\lambda (0_V+0_V)\\ 0_V+\cancel{\lambda 0_v}& =\lambda 0_V+\cancel{\lambda 0_V}\\ 0_V& =\lambda 0_V\end{array}$$

\end{proof}

Prp

$0_{F}v=0_V\forall v\in V$

\begin{proof}

Tenemos que:

$$\begin{array}{rlr}{0}_{F}v& =(0_F+0_F)v& \\ 0_{F}v& =0_V+0_{F}v& \\ \therefore 0_V+0_{F}v& =(0_F+0_F)v& \\ 0_V+\cancel{0_{F}v}& =0_{F}v+\cancel{0_{F}v}& \text{ley de la cancelacioˊn de la suma}\\ 0_V& =0_{F}v& \end{array}$$

\end{proof}

Prp

$-v=-1v$

\begin{proof}

Por la unicidad del inverso aditivo de $v$, basta probar que $-1v+v=0_V$

Tenemos:

$$\begin{array}{rlrl}-1v+v& =-1v+1v& & \\ & =(-1+1)v& =0_{F}v& =0_V\end{array}$$

\end{proof}

Prp

$-(-v)=v$

\begin{proof} Sea $w=-v$. Debemos demostrar que $v+w=v+(-v)=0_V$. Esta igualdad se cumple pues $-v$ es el inverso aditivo de $v$. \end{proof}