Clase 11

video:

Recordemos Notación

Forma escalonada reducida por filas

Sea $R$ una matriz de $m\times n$. Diremos que $R$ está en la forma escalonada reducida por filas si $R=(0)$ ó $R$ satisface lo siguiente:

• i) Los renglones nulos de $R$ están debajo de los renglones no nulos de $R$.

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Esto es, si $R$ tiene $r$ renglones no nulos, entonces $R_{r+1}, \dots, R_{m}$ son los renglones nulos de $R$.

• ii) Para cada $i\ge 2$, la primera entrada no nula del renglón no nulo $R_i$ está en la columna a la derecha de la primera entrada no nula del renglón $R_{i-1}$. Esto es, si $R_i$ es un renglón no nulo de R y la primera entrada distinta de cero está en la entrada $(i,k_i)$, entonces, $k_{i-1}<k_i$.
• iii) Si $R_1,\dots ,R_r$ son los renglones no nulos de $R$ y $a_{1k_1},a_{2k_2},\dots ,a_{r{k}_r}$ son las primeras entradas no nulas de $R_1,\dots ,R_r$ contando de izquierda a derecha, entonces: $a_{1k_1}=a_{2k_2}=\cdots =a_{r{k}_r}=1$

Ejemplo:

$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cccccc}0& -1& 2& 7& 9& 20\\ 0& 0& 1& -2& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 27\end{array}\right)\end{array}$$

Esta matriz cumple con:

• i) No hay renglones nulos
• ii) Sí cumple pues toda entrada diferente de cero está más a la derecha que el renglón superior.
• iii) No cumple porque los elementos más a la derecha no son 1’s.

2 x 2

Describir todas las matrices de $2\times 2$, distintas a la matriz cero, con entradas reales, que estén en la forma escalonada reducida por filas.

$a,b,c,d\in \mathbb{R}$

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

Si $A\ne (0)$, tenemos dos posibilidades. Que el primer renglón de $A$ es no nulo o el segundo es no nulo.

Caso 1 El primer renglón es no nulo.

En este caso tenemos que $a\ne 0$ ó $b\ne 0$.

Si $a\ne 0$, entonces $a=1$

$$\left(\begin{array}{cc}1& b\\ c& d\end{array}\right)$$

Ahora bien, si el segundo renglón es nulo entonces:

$$\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 0\end{array}\right)$$

Si el segundo renglón es no nulo, entonces: $c\ne 0$ ó $d\ne 0$. Pero, $c\ne 0$ no es posible porque la matriz satisface ii). Por lo tanto, $d\ne 0$ y $d$ es la primera entrada no nula del segundo renglón, por lo que $d=1$:

$$\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Si $b\ne 0$ y $a=0$ entonces:

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ c& d\end{array}\right)$

Por lo tanto, $c=0$ y $d=0$:

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$