Clase 12

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Pivotes

Sea $A=(a_{ij})$ una matriz de $m\times n$ no nula:

Def

Si el renglón $A_i$ es no nulo, definimos la entrada pivote del renglón $A_i$ como la primera entrada no nula contando de izquierda a derecha.

Def

Si el renglón $A_i$ es no nulo y la entrada pivote de $A_i$ se encuentra en la columna $k$, llamamos a la columna $k$, la columna pivote del renglón $A_i$.

Ejemplo:

$$A=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& -1& 2& 3& 0\\ 1& 0& 2& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

• Para el primer renglón, la entrada pivote está en la tercera columna.
• Para el segundo renglón, la entrada pivote está en la primera columna.
• Para el tercer renglón, la entrada pivote está en la sexta columna.

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Forma Escalonada Reducida por filas (FER)

Matriz escalonada reducida

Sea $R$ una matriz de $m\times n$. Diremos que $R$ está en la forma escalonada reducida por filas (FER) si $R=(0)$, o bien, $R\ne (0)$ y satisface:

• Todos los renglones nulos de $R$ están abajo de los renglones no nulos de $R$. Esto es, si $R$ tiene $r$ renglones no nulos, entonces $R_{r+1},\dots ,R_m$ son nulos.
• Si $R_i$ es un renglón no nulo con $i>1$ y la entrada pivote de $R_i$ está en la columna $k_i$ y la entrada pivote del renglón $R_{i-1}$, está en la columna $k_{i-1}$, entonces $k_{i-1}<k_i$.
• Si $R_i$ es un renglón no nulo y $a_{i{k}_1}$ es su entrada pivote, entonces $a_{i{k}_i}=1$
• Si $R_i$ es un renglón no nulo y $a_{i{k}_i}$ es su entrada pivote, entonces las entradas de la columna $k_i$ son todas cero excepto $a_{i{k}_i}=1$.

Ejemplo: $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ En las columnas pivote, el resto es cero, cuando no se trata de un pivote, el número puede ser distinto de $1$.

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Equivalencia de matrices por filas

Sean $A$ y $B$ matrices de $m\times n$. Diremos que $A$ es equivalente por filas a $B$ si existen un número finito de operaciones elementales por filas $e_i,\dots ,e_k$ tales que $B=e_k{e}_{k-1}\dots e_2{e}_{1}A$.

Ejemplo:

Muestra que $A$ es equivalente por filas a $I$.

$$\begin{array}{rlr}A=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 2\\ 3& 3\end{array}\right)& & I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 2\\ 3& 3\end{array}\right)\underset{e_1}{\overset{A_1\to -2A_2}{\to }}\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ 3& 3\end{array}\right)\underset{e_2}{\overset{A_2\to -\frac{1}{3}{A}_2}{\to }}\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ -1& -1\end{array}\right)\underset{e_3}{\overset{A_2\to A_1+A_2}{\to }}\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ 0& -5\end{array}\right)\\ \underset{e_4}{\overset{A_2\to -\frac{1}{5}{A}_2}{\to }}\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ 0& 1\end{array}\right)\underset{e_5}{\overset{A_1\to A_1+4A_2}{\to }}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

Notemos que cada operación elemental tiene su inversa:

$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\underset{e_5^{\prime }}{\overset{A_1\to A_1-4A_2}{\to }}\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ 0& 1\end{array}\right)\dots \end{array}$$

Por lo que $A\to B\to A$. Por lo tanto es simétrica, reflexiva y transitiva. Es decir, tiene una relación de equivalencia.