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Operaciones elementales por filas

aplicadas a una matriz $A$ de $m \times n$

Sean la ecuaciones:

3 x - 2 y + 5 z = - 1 2 x + y = 0

Estas pueden ser representadas mediante una matriz $A$ tal que:

A = (32 - 2 1 50 ∣ ∣ - 1 0)

Para resolver este sistema de ecuaciones

Hay 3 tipos de operaciones elementales por filas:

1. Intercambio de renglones distintos.

A A_{i} \to A_{j} i \neq = j A^{'}

Ejemplo:

Sea la matriz $A_{3 \times 4}$ :

A = 050 - 1 70 2 - 2 - 2 301

Aplicando el cambio de renglones $A_{1} \to A_{2}$ tenemos:

050 - 1 70 2 - 2 - 2 301 A_{1} \to A_{2} 500 7 - 1 0 - 2 2 - 2 031

2. Multiplicación de un renglón por escalar

Multiplicar el $i -$ ésimo renglón por un escalar $c \in F, c \neq = 0$

A A_{i} \to c A_{i} A^{'}

Ejemplo:

A = 050 - 1 70 2 - 2 - 2 301 A_{3} \to \frac{1}{π} A_{3} 050 - 1 70 2 - 2 - \frac{2}{π} 30 \frac{1}{π}

3. Suma de escalar

Sumar al renglón $i$ , $c$ veces el renglón, $c \in F$ y con $i \neq = j$

A A_{i} \to A_{i} + c A_{j} A^{'}

Ejemplo:

A = 050 - 1 70 2 - 2 - 2 301 A_{2} \to A_{2} + (- 1) A_{1} 050 - 1 80 2 - 4 - 2 3 - 3 1

Notación

Usamos letras $a, b, c \dots$ para denotar a una operación elemental por filas. Si $A$ es una matriz de $m \times n$ y $e$ es una operación elemental por filas, denotamos por $e A$ a la matriz que se obtiene después de aplicar la operación elemental $e$ a la matriz $A$ .

Además, si $e_{1}, \dots, e_{n}$ son operaciones elementales por filas:

A e_{1} e_{1} A e_{2} e_{2} e_{1} A \dots e_{n} e_{n} e_{n - 1} \dots e_{2} e_{1} A

Ejemplo de operaciones elementales por filas:

Se resolverá el siguiente sistema de ecuaciones siguiendo el algoritmo de ??

3 x + 2 y - z x + y + z x - z = 0 = 0 = 0

311210 - 1 1 - 1 A_{2} \to A_{2} +- \frac{1}{3} A_{1} A_{3} \to A_{3} +- \frac{1}{3} A_{3} 300 2 \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 1 \frac{4}{3} - \frac{2}{3} A_{2} \to 3 A_{2} A_{3} \to 3 A_{3} 300 21 - 2 - 1 4 - 2 A_{1} \to A_{1} +- 2 A_{2} A_{3} \to A_{3} +- 2 A_{2} 300010 - 9 46

A_{3} \to \frac{1}{6} A_{1} 300010 - 9 41 A_{2} \to A_{2} - 4 A_{3} A_{1} \to A_{1} + 9 A_{3} 300010001 A_{1} \to \frac{1}{3} A_{1} 100010001

Por lo que la solución al sistema de ecuaciones es:

x y z = 0 = 0 = 0

Álgebra Lineal I 🌱

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Clase 10

Operaciones elementales por filas

1. Intercambio de renglones distintos.

2. Multiplicación de un renglón por escalar

3. Suma de escalar

Notación

Ejemplo de operaciones elementales por filas:

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