Clase 31

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Sea $V$ un $F-e.v.$ de dimensión finita $n$ y $S,T$ subespacios de $V$.

Teorema de las dimensiones: $dim(S+T)=dim(S)+dim(T)-dim(S\cap T)$

\begin{proof} Si $S\cap T=\{0_V\}$ entonces $di{m}_F(S\cap T)=0$ en ese caso la suma de s y t es directa y pro lo anterior la dimensión de s + t es la dim de s más la dim de t

Supongamos ahora que la intersección no es el vector trivial. Tomemos una base de esa intersección de k elementos. Por lo que la dimensión de la intersección s y t es k.

Tenemos que $S\cap T$ es subespacio de $S$ y también es subespacio de $V$.

$\{v_1,\dots ,v_k\}\subseteq S$ que es linealmente independiente. extendemos $\{v_1,\dots ,v_k\}$ a una base de $S$: $\{v_1,\dots ,v_k,w_1,\dots ,w_t\}$

Hacemos lo mismo con $T$, es decir, tenemos que $\{v_1,\dots ,v_k\}\subseteq T$ y es linealmente independiente. Lo extendemos a una base de $T$, $\{v_1,\dots ,v_k,z_1,\dots ,z_r\}$

Entonces tenemos que la dimensión de S es k+t, mientras que la dimensión de T es k + r. La dimensión de la intersección es k…

Vamos a probar que el conjunto de vectores $\{v_1,\dots ,v_k,w_1,\dots ,w_t,z_1,\dots ,z_r\}$ es base de $S+T$

Tenemos que probar lo siguiente: i) $v_1,\dots ,v_k,w_1,\dots ,w_t,z_1,\dots ,z_r$ pertenecen a $S+T$ ii) $\{v_1,\dots ,v_k,w_1,\dots ,w_t,z_1,\dots ,z_r\}$ genera a $S+T$ iii) $\{v_1,\dots ,v_k,w_1,\dots ,w_t,z_1,\dots ,z_r\}$ es linealmente independiente.

con esto podríamos concluir que es base de $S+T$.

i) Para cada $1\le i\le k$, $v_i\in S\cap T$ así que podemos escribir a $v_i$ como $v_i=v_i+0_V=0_V+v_i$ de modo que puedo ver a $v_i\in S+T$.

Ahora para cada $1\le j\le t,w_j\in S+T$ ya que $w_j\in S$ y podemos escribir a $w_j$ como $w_j=w_j+0\in S+T$.

Para cada $1\le l\le r,z_l\in S+T$ ya que $z_l\in T$ y $z_l=0+z_l\in S+T$

ii) Ahora probemos que $\{v_1,\dots ,v_k,w_1,\dots ,w_t,z_1,\dots ,z_r\}$ genera a $S+T$

Sea $x+y\in S+T$, tenemos que $x\in S,y\in T$.

Como $\{v_1,\dots ,v_k,w_1,\dots ,w_t\}$ es base de $S$, entonces $x$ se expresa como $x={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_k{v}_k+{\beta }_1{w}_1+\cdots +{\beta }_t{w}_t$ donde las alfas y betas son escalares.

Como $\{v_1,\dots ,v_k,z_1,\dots ,z_r\}$ es base de $T$, y $y\in T$, $y$ se expresa como: $y={ϵ}_1{v}_1+\cdots +{ϵ}_k{v}_k+{\gamma }_1{z}_1+\cdots +{\gamma }_r{z}_r$ donde epsilones y gammas son escalares. Entonces $x+y={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_k{v}_k+{\beta }_1{w}_1+\cdots +{\beta }_t{w}_t+{ϵ}_1{v}_1+\cdots +{ϵ}_k{v}_k+{\delta }_1{z}_1+\cdots +{\delta }_r{z}_r$ …

iii) Ahora probamos que $\{v_1,\dots ,v_k,w_1,\dots ,w_t,z_1,\dots ,z_r\}$ es linealmente independiente.

Supongamos que $0_V={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\beta }_1{w}_1+\cdots +{\gamma }_1{z}_1+\dots$ Sumando inversos aditivos tenemos que: $\underset{\in T}{{\gamma }_1{z}_1+\dots }=\underset{\in S}{-{\alpha }_1{v}_1-\cdots -{\beta }_1{w}_1-\dots }$

Esto implica que ${\gamma }_1{z}_1+\dots$ está en $S\cap T$. Como $\{v_1,\dots ,v_k\}$ es base de $S\cap T$, entonces el vector ${\gamma }_1{z}_1+\cdots +{\gamma }_r{z}_r={\delta }_1{v}_1+\cdots +{\delta }_k{v}_k$ $⟹0_V={\delta }_1{v}_1+\cdots +{\delta }_k{v}_k-{\gamma }_1{z}_1-\cdots -{\gamma }_r{z}_r$.

Esto es una combinación lineal igual al vector cero de los vectores $v_1,\dots ,v_k,z_1,\dots ,z_r$ Como … es base de $T$ es linealmente independiente. Por lo que ${\delta }_1=\cdots ={\delta }_k=0={\gamma }_1=\cdots ={\gamma }_r$

…

Por lo tanto, $\{v_1,\dots ,v_k,w_1,\dots ,w_t,z_1,\dots ,z_r\}$ es base de $S+T$. En particular: $di{m}_F(S+T)=k+t+r$ $di{m}_F(S)+dim(T)-dim(S\cap T)=(k+t)+(k+r)-k=k+t+r$

\end{proof}

Entrega de tarea 3: 18 de noviembre. Cuenta como examen.