Clase 26

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1 teo Sea $V$ un $F-e.v.$ finítamente generado y sean $v_1,\dots ,v_n$ vectores en $V$. Son equivalentes: i) $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es un conjunto mínimo de generadores. ii) $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es un conjunto máximo linealmente independiente. iii) $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es un conjunto base de $V$.

\begin{proof} $i⟹iii$

Como $\{v_1,\dots ,v_n\}$ genera por hipótesis, basta probar que $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es linealmente independiente.

Supongamos que $0_v={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_n{v}_n={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i$

PD ${\alpha }_i=0\forall i=1,\dots ,n$

Sup que para algún $j,1\le i\le n{\alpha }_j\ne 0$ Renumerando podemos suponer sin pérdida de generalidad que ${\alpha }_1=0$

Tenemos $0_v={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_n{v}_n$ multiplicamos por ${\alpha }_1^{-1}$ la igualdad

$$\begin{array}{rl}{0}_V& ={\alpha }_1^{-1}{0}_v={\alpha }_1^{-1}({\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_n{v}_n)\\ & =v_1+{\alpha }_1^{-1}{\alpha }_2{v}_2+\cdots +{\alpha }_1^{-1}{\alpha }_n{v}_n\end{array}$$

Sumamos $-v_1$ a la igualdad:

$$\begin{array}{rlr}-v_1& =0_V+(-v_1)& ={\alpha }_1^{-1}{\alpha }_2{v}_2+\cdots +{\alpha }_1^{-1}{\alpha }_n{v}_n\\ v_1& =-{\alpha }_1^{-1}{\alpha }_2{v}_2-\cdots -{\alpha }_1^{-1}{\alpha }_n{v}_n& \end{array}$$

Por lo tanto $v_1$ es generado por los demás. Probemos que $\{v_2,\dots ,v_n\}$ genera a $V$.

Sea $w\in V$, como $\{v_1,\dots ,v_n\}$ genera a $V$, existen ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\in F$ tales que

$$\begin{array}{rl}w& ={\beta }_1{v}_1+{\beta }_2{v}_2\cdots +{\beta }_n{v}_n\\ w& =\beta (-{\alpha }_1^{-1}{\alpha }_2{v}_2-\cdots -{\alpha }_1^{-1}{\alpha }_n{v}_n)+{\beta }_2{v}_2\cdots +{\beta }_n{v}_n\\ & =(-{\beta }_1{\alpha }_1^{-1}{\alpha }_2{v}_2+{\beta }_2)v_2+\cdots +(-{\beta }_1{\alpha }_1^{-1}{\alpha }_n{v}_n+{\beta }_n)v_n\end{array}$$

Como ya no está $v_1$, significa que el conjunto se puede generar con $\{v_2,\dots ,v_n\}$ , lo cual es una contradicción, porque estamos suponiendo que $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es un conjunto mínimo de generadores.

Por lo tanto $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es un conjunto linealmente independiente. \end{proof}

\begin{proof} $iii⟹ii$

Sup que $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es base de $V$.

PD $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es máximo linealmente independiente

Como $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es base, basta probar que para cada $w\in V,w\ne v_{i}1\le i\le n$ se cumple que $\{v_1,\dots ,v_n,w\}$ es linealmente dependiente.

Como $\{v_1,\dots ,v_n\}$ genera a $V$ (por ser base), entonces existen ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\in F$ tales que $w={\beta }_1{v}_1+\cdots +{\beta }_n{v}_n$ Por lo tanto se puede escribir el vector cero como: $0_v=-1w+{\beta }_1{v}_1+\cdots +{\beta }_n{v}_n$ Y como uno de los escalares es distinto de cero (-1), entonces es linealmente dependiente. \end{proof}

\begin{proof} $ii⟹i$

Sup que $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es un conjunto máximo linealmente independiente.

PD $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es mínimo de generadores.

Primero probemos que $\{v_1,\dots ,v_n\}$ genera a $V$.

Sea $w\in V$. Si $w=v_i$ para $1\le i\le n$, entonces $v_i=0v_1+\cdots +0v_{i-1}+1v_i+0v_{i+1}+\cdots +0v_n$

Si $w\ne v_i$ para $1\le i\le n$, entonces $\{v_1,\dots ,v_n,w\}$ es linealmente dependiente ya que $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es máximo linealmente independiente (por hipótesis).

Como $\{v_1,\dots ,v_n,w\}$ es linealmente dependiente, existen ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,\beta \in F$ no todos iguales a cero y tales que: $0_V={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_n{v}_n+\beta w$ Probemos que forzosamente $\beta =0$ Si $\beta =0$, entonces alguno de ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ es distinto de cero. Renumerando si es necesario, podemos suponer SPG que ${\alpha }_1\ne 0$

Tenemos

$$\begin{array}{rlr}{0}_V& ={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_n{v}_n+0w& \\ & ={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_n{v}_n& \text{y }{\alpha }_1\ne 0\\ ⟹\{v_1,\dots ,v_n\}\text{ es linealmente dependiente }\perp !& & \end{array}$$

Por lo tanto $\beta \ne 0$. Esto implica que $\beta w=-{\alpha }_1{v}_1-\cdots -{\alpha }_n{v}_n$ $⟹w={\beta }^{-1}\beta w=-{\beta }^{-1}{\alpha }_1{v}_1-\dots {\beta }^{-1}{\alpha }_n{v}_n$ $\therefore \{v_1,\dots ,v_n\}$ genera a $V$.

Falta probar que $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es mínimo de generadores. Es decir que para cada $1\le i\le n$ $\{v_1,\dots ,v_n\}\setminus \{v_i\}$ ya no genera a $V$.

SPG podemos suponer $i=1$.

Supongamos que $\{v_1,\dots ,v_n\}\setminus \{v_i\}$ sí genera a $V$. En particular $v_1$ es combinación lineal de $\{v_2,\dots ,v_n\}$ $⟹v_1={\alpha }_2{v}_2+\cdots +{\alpha }_n{v}_n,{\alpha }_i\in F$ $⟹0_V=(-1)v_1+{\alpha }_2{v}_2+\cdots +{\alpha }_n{v}_n$ $⟹\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}\setminus \{v_i\}$ es linealmente dependiente, lo cual es una contradicción con nuestra hipótesis $\perp !$

Por lo tanto, el conjunto $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es mínimo. \end{proof}