Clase 34

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Transformaciones lineales

Sean 2 espacios vectoriales sobre el mismo campo. Una función es lineal si satisface que:

• $T(v+w)=T(v)+T(w)$ (T es aditiva)
• $T(\alpha v)=\alpha T(v)$ (T es F-lineal)

Teorema

Sean $T:V\to W$ una transformación lineal.

• $T(O_V)=0_W$
• $T(-v)=-T(v)\forall v\in V$

Dem i)

$$0_w+\underset{\in \mathbb{N}}{T(0_V)}=T(0_V)=T(0_V+0_v)\dots$$

ii) Sea $v\in V$ PD $T(-v)=-T(v)$ Tenemos que $-v=-1v$, entonces:

$$T(-v)=T(-1v)\underset{T\text{es }F-\text{lineal}}{=}-1T(v)=-T(v)$$

$\square$

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Ejemplo

a) Sea $V$ un $F$-e.v. y $1_v=i{d}_v:V\to V$ la función identidad. $1_V$ es una transformación lineal. b) Sea $V_{1}N$ un F-ev. y $0:v\to W$ la función definida como $0(v)=0_W\forall v\in V$ es una transformación lineal llamada la transformación cero.

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• Probar que es aditiva: Sean $v,v^{\prime }\in V$ PD $0(v+v^{\prime })=0(v)+0(v^{\prime })$

$$\begin{array}{rlr}0(v+v^{\prime })& =0_w& \\ 0(v)+0(v^{\prime })& =0_w+0_w& =0_w\\ \therefore 0\text{ es aditiva}& & \end{array}$$

• Probar que…

Sean $v\in V$ y $\alpha \in F$ PD $0(av)=\alpha 0(v)$ …

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c) “La multiplicación por A” Sean ${\mathbb{R}}_3[x]=\{f(x)\in \mathbb{R}[x]\setminus f(x)=0\text{ oˊ grado }f(x\le 3)\}$ $\{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3\}|a_0,a_1,a_2,a_3\in \mathbb{R}$ …

Definimos $D:{\mathbb{R}}_3[x]\to {\mathbb{R}}_2[x]$ como: $D(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2$

$D$ es una transformación lineal (derivada)

d) Sea $A={\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 3& 4\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)}_{2\times 4}\in {\mathcal{M}}_{2\times 4}(\mathbb{R})$

La matriz A induce una transformación lineal

$$\begin{array}{r}{T}_A:{\mathbb{R}}^4\to {\mathbb{R}}^2\end{array}$$

Definida como:

$$T_A(x)=Ax=\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 3& 4\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)$$

Sean $x,x^{\prime }\in {\mathbb{R}}^4$ $T_A(x+x^{\prime })=A(x+x^{\prime })=Ax+A{x}^{\prime }=T_A(x)+T_A(x^{\prime })$

Sean $x\in {\mathbb{R}}^4,\alpha \in \mathbb{R}$

$$T_A(\alpha x)=A(\alpha x)=\alpha (Ax)=\alpha T_A(x)$$

e) Sea $A\in M_{m\times n}(F)$, A induce una transformación lineal $T_A:F^n\to F^m$ dada por $T_A(x)=A_x\forall x\in F^n$

La transformación lineal $T_A$ se llama la transformación por A.

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Núcleo de una transformación lineal

Sean $T:V\to W$ una transformación lineal.

Definimos el núcleo o kernel de $T$, denotado $Nuc(T)=Ker(T)$, como $ker(T)=\{v\in V|T(v)=0_w\}$

Además el $Ker(T)$ es subespacio de $V$.

Dem

• Probar que el vector cero de v está en el núcleo. $0_V\in Ker(T)$ ya que $T(0_V)=0_W$

• Probar que es cerrado bajo la suma Sean $v,v^{\prime }\in Ker(T)$ PD $v+v^{\prime }\in Ker(T)ie.T(v+v^{\prime })=0_W$ Tenemos que

$$T(v+v^{\prime })=T(v)+T(v^{\prime })\dots$$

Sean $v\in Ker(T)$ y $\alpha \in F$ PD $\alpha v\in Ker(T)$ PD $T(\alpha v)=0_W$

$$T(\alpha v)=\alpha T(v)=\alpha 0_W=0_w$$

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Sea $T:V\to W$ una transformación lineal.

Entonces $T$ es inyectiva si y solo si el núcleo de la transformación sólo tiene al vector cero: $Ker(T)=\{0_v\}$

Dem $⟹$ Sup que $T$ es inyectiva.

Sea $v\in Ker(T)$ PD $v=0_v$

Como $v\in ker(t)$, $T(v)=0_w$ y por otro lado $T(0_v)=0_w$.

Por tanto $T(v)=0_w=T(0_V)$

$f$ es inyectiva si siempre que $f(a)=f(a^{\prime })$, entonces $a=a^{\prime }$

Como $T$ es inyectiva, $v=0_v$

$⟸$ Sup que $Ker(T)=\{0_V\}$ PD T es inyectiva Sup que $T(v)=T(v^{\prime })$ donde $v,v^{\prime }\in V$ PD $v=v^{\prime }$

Como $T(V)=T(v^{\prime })$, sumando el inverso de $T(v^{\prime })$ obtenemos que $T(v)-T(v^{\prime })=0_w$

Como $T$ es transformación lineal $-T(v^{\prime })=T(v^{\prime })$, así que $T(v)-T(v^{\prime })=T(v)\dots$

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Ejemplos

a) Calcular el núcleo de la transformación identidad $1_v:V\to V$

$Ker(1_v)=\{v\in V|1_v(v)=0_v\}$ …

b)

Núcleo de la Transformación cero

c) Núcleo de la derivada

d)

Núcleo de matriz

Por tanto el sistema Ax = 0 tiene solo la solución trivial sii el núcleo de T_A = {0} sii T_A es inyectiva

El sistema Ax = 0 tiene soluciones no triviales sii el núcleo no es el subespacio cero. sii la transformación T_A no es inyectiva.