Clase 09

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Propiedades del producto de matrices

Distributividad

Distributividad

Si los productos $AB,BC$ están definidos, entonces: $A(BC)=(AB)C$

Identidad

Matriz Identidad

Si $A$ de $m\times n$, e $I_m$ es la matriz identidad de $m\times m$, e $I_n$ es la matriz identidad de $n\times n$. Entonces $I_{m}A=A$ y $A{I}_n=A$

Leyes distributivas

Leyes distributivas

Sean $A,B,CyD$ matrices del tamaño adecuado, entonces: $A(B+C)=AB+AC$ Y $(B+C)D=BD+BC$

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\begin{proof}@^613b9b

a) Tenemos

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1j}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2j}& a_{2n}\\ ⋮& & & & \\ a_{m_1}& a_{m_2}& \dots & a_{mj}& a_{mn}\end{array}\right)$$

notar la $j-$ésima columna de $A$

$$I=\left(\begin{array}{cccc}{e}_{11}& e_{12}& \dots & e_{1m}\\ ⋮& & & \\ e_{i1}& e_{i2}& \dots & e_{im}\\ e_{m1}& e_{m2}& \dots & e_{mm}\end{array}\right)$$

Notar el $i-$ésimo renglón de $I_m$

P.D. $I_{m}A=A$, es decir, para cada $1\le i\le m,1\le j\le n$: $(I_{m}A)(ij)=A(i,j)=a_{ij}$

Notemos que la multiplicación $I_{m\times m}{A}_{m\times n}$ da como resultado una matriz de $m\times n$, por lo que “vamos por buen camino”.

Recordemos que para calcular la entrada $(i,j)$ de $(I_{m}A)(i,j)=(I_m{)}_i{A}^j$ (Ver Otra forma de recordarlo)

Por lo que

$$=\sum _{j=1}^m{e}_{ik}{a}_{kj}$$

Como $I_m$ es la matriz identidad de $m\times m$, tenemos que para $1\le i\le m$ y $1\le j\le n$:

$$e_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$$

Por lo que:

$$=\sum _{j=1}^m{e}_{ik}{a}_{kj}=e_{ii}{a}_{ij}=1a_{ij}=a_{ij}$$

Pues $e_{ik}=0$ si $k\ne i$. \end{proof}

Para la demostración de b) es un proceso silimar

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El producto de matrices no es, en general, conmutativo:

Ejemplo 1: $A_{3\times 2}{B}_{2\times 5}\ne B_{2\times 5}{A}_{3\times 2}$ Pues el tamaño de $BA$ no está definido. Ejemplo 2: $\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$ El único caso donde es conmutativo, es con las matrices de 1 elemento.

Matrices Invertibles e Inversos

Sea $A$ una matriz de $n\times n$:

Inverso Izquierdo

$B$ una matriz de $n\times n$ es inverso izquierdo de $A$ si: $BA=I_n$

Inverso Derecho

$C$, una matriz de $n\times n$ es inverso derecho de $A$ si: $AC=I_n$

Matriz invertible

Diremos que una matriz $A$ es invertible si existe una matriz $D$ de $n\times n$ tal que: $DA=I_n=AD$

Equivalencia de matrices

Equivalencia de matrices

Sean $A,B\text{ y }C$ matrices de $n\times n$. Si $B$ es inversa izquierda de $A$ y $C$ es inversa derecha de $A$, entonces, $B=C$.

\begin{proof}@^7c9456

Tenemos que:

$$\begin{array}{rl}BA& =I_n\\ AC& =I_n\\ ⟹B& =B{I}_n=B(AC)\\ {}_{\text{Por asociatividad}}& \\ & =(BA)C\\ & =I_{n}C=C\end{array}$$

\end{proof}

Existencia de una única matriz inversa

Unicidad de la matriz inversa

Sea $A$ una matriz de $n\times n$ invertible. Entonces A tiene una única matriz inversa. Es decir, existe una única matriz $D$ de $n\times n$ tal que $AD=I_n=DA$.

\begin{proof}@^d81280

Supongamos que $D$ y $D^{\prime }$ son inversas de $A$. Entonces:

$$\begin{array}{r}AD=I_n=DA\\ A{D}^{\prime }=I_n=D^{\prime }A\end{array}$$

P.D.

$$D=D^{\prime }$$

Tenemos:

$$\begin{array}{rl}{D}^{\prime }=D^{\prime }{I}_n& =D^{\prime }(AD)\\ {}_{\text{Por asociatividad}}& \\ & =(D^{\prime }A)D=I_{n}D=D\end{array}$$

\end{proof}

Notación

Si $A$ es una matriz de $n\times n$ invertible, denotamos a la matriz inversa de $A$ como:

$$A^{-1}$$

La inversa de una inversa

Si $A$ es una matriz invertible de $n\times n$, entonces $A^{-1}$ también lo es. Y $(A^{-1}{)}^{-1}=A$

\begin{proof}@^bff137

Para que $A$ sea la inversa de $A^{-1}$, hay que ver que $A{A}^{-1}=I_n=A^{-1}A$, lo cual es cierto pues $A^{--1}$ es la inversa de $A$.

\end{proof}