Propiedades del producto de matrices

Asociativo

El producto de matrices (cuando está definido) es asociativo.

Sean $A_{m \times n} B_{n \times q} C_{q \times r}$

A B_{m \times q} ((A B) C)_{m \times r} BC n \times r A (BC)_{m \times r}

Podemos notar que ambas matrices tienen el mismo tamaño $(m \times r)$ .

A = (a_{ik}) B = (b_{k l}) C = (c_{l j}) i = 1, \dots, m l = 1, \dots, q k = 1, \dots, n j = 1, \dots, r

P.D. Para cada $1 \leq i \leq m$ y $1 \leq j \leq r$

((A B) C) (i, j) = (A (BC)) (i, j)

Entonces:

((A B) C) (i, j) = (A B)_{i} C^{j} A B = A_{1} B^{1} ⋮ A_{i} B^{1} ⋮ A_{m} B^{1} \dots \dots \dots A_{1} B^{q} A_{i} B^{q} A_{m} B^{q}

Para cada $l = 1, \dots, q$ : $A_{i} B^{l} = (a_{i l} \dots a_{in}) b_{1 l} b_{2 l} ⋮ b_{n l} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{k l}$

Ahora, multiplicando por C en la $j -$ ésima columna:

(A B)_{i} C^{j} = (\sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{k 1} \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{k 2} \dots \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{k q}) c_{1 j} c_{2 j} ⋮ c_{q j} = c_{1 j} k = 1 \sum n a_{ik} b_{k 1} + c_{2 j} k = 1 \sum n a_{ik} b_{k 2} + \dots + c_{q j} k = 1 \sum n a_{ik} b_{k q} = l = 1 \sum q k = 1 \sum n c_{l j} (a_{ik} b_{k l})

Por otro lado tenemos:

(A (BC)) (i, j) = A_{i} (BC)^{j} k = 1 \sum n l = 1 \sum q (c_{l j} a_{ik}) b_{k l}

Por asociatividad de la multiplicación en el campo tenemos que:

l = 1 \sum q k = 1 \sum n c_{l j} (a_{ik} b_{k l}) = k = 1 \sum n l = 1 \sum q (c_{l j} a_{ik}) b_{k l}

Esta resulta ser una de las demostraciones más compliadas en las matrices por el manejo de distintos índices.

$I_{m \times m} A_{m \times n} = A$ $A_{m \times m} I_{n \times n} = A$

$A (B + C) = A B + A C$