Clase 35

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Transformación lineal: ${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$

tomo una base de ${\mathbb{R}}^2$, y defino una función lineal que manda la base a ${\mathbb{R}}^3$.

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$T:V\to W$ una transformación lineal. $Im(T)=T(V)=\{T(v)|v\in V\}$ es subespacio de $V$, además, $T$ es suprayectiva si y solo si $\mathrm{Im}(T)=W$.

1 Sea $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(F)$, y sea $T_A:F^n\to F^m$ la transformación lineal dada por $T_A(x)=Ax$, donde $x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$.

Ya sabemos que $ker(T_A)$ es igual al espacio solución del sistema $Ax=0$.

Vamos a calcular la imagen de $T_A$. Tenemos que: Un vector $b\in F^m$ pertenece a $\mathrm{Im}(T)$ si y solo si existe un vector $s\in F^n$ tal que $T(s)=b$ si y solo si $T(s)=As=b$ si y solo si $s$ es solución del sistema $Ax=b$.