Clase 01

Números racionales: $\mathbb{Q}$

Propiedades:

• Neutro aditivo: 0
• Neutro multiplicativo: 1
• Para todo racional distinto de 0, se tiene un inverso multiplicativo, es decir, que su producto da = 1.

Ley distributiva:

$$\begin{array}{r}\frac{p}{q}(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})\\ =\frac{p}{q}\frac{a}{b}+\frac{p}{q}\frac{c}{d}\end{array}$$

Campos

Un campo consiste en:

• Un conjunto $F$
• Dos funciones
  • Suma (+): $F\times F\to F$, $(\lambda ,\mu )\mapsto \lambda +\mu$
  • Producto ($\cdot$): $F\times F\to F$, $(\lambda ,\mu )\mapsto \lambda \cdot \mu$

Estas funciones satisfacen las siguientes propiedades:

Propiedades de la suma

• Conmutatividad: $x+y=y+x\forall x,y\in F$
• Asociatividad: $x+(y+z)=(x+y)+z\forall x,y,z\in F$
• Existencia del neutro aditivo: $\exists e\in F|e+x=x\forall x\in F$
• Existencia de inversos aditivos: Sea $e$ el neutro aditivo; $\forall x\in F,\exists x^{\prime }\in F|x+x^{\prime }=e$

Propiedades del producto

• Conmutatividad: $xy=yx\forall x,y\in F$
• Asociatividad: $x(yz)=(xy)z\forall x,y,z\in F$
• Existencia del neutro multiplicativo: $\exists u\in F$ tal que $u$ no es neutro aditivo y $ux=x\forall x\in F$
• Existencia del inverso multiplicativo: Para cada $x\in F$ que no es el neutro aditivo, $\exists y\in F|xy=u$
• Ley distributiva: $x(y+z)=xy+xz\forall x,y,z\in F$

Proposición:

Sea $F$ un campo. Entonces:

• a) $F$ tiene un único neutro aditivo.
• b) $F$ tiene un único neutro multiplicativo.
• c) Dado $x\in F$ existe un único $x^{\prime }\in F|x+x^{\prime }=e$
• d) Dado $x\in F$ existe un único $x^{\prime }\in F|x\cdot x^{\prime }=u$

Demostración:

a)

Suponemos que $e$ y $e^{\prime }$ son neutros aditivos de $F$.

P.D. que $e=e^{\prime }$

Como $e^{\prime }$ es neutro aditivo, entonces se debe cumplir que

$$e=e+e^{\prime }\text{\hspace{1em}(1)}$$

Por otro lado, tenemos que $e$ es neutro aditivo, entonces se debe cumplir que

$$e^{\prime }=e+e^{\prime }\text{\hspace{1em}(2)}$$

Por $(1)$ y $(2)$ tenemos que

e = e' \tag{$\square$}

b)

Suponemos que $u$ y $u^{\prime }$ son neutros multiplicativos de $F$. Entonces:

Como $u^{\prime }$ es neutro multiplicativo, entonces se debe cumplir que:

$$u=u\cdot u^{\prime }\text{\hspace{1em}(1)}$$

Por otro lado, como $u$ es neutro multiplicativo, entonces se debe cumplir que:

$$u^{\prime }=u\cdot u^{\prime }\text{\hspace{1em}(2)}$$

Por $(1)$ y $(2)$ tenemos que u' = u \tag{$\square$}

c)

Supongamos que:

• $x\in F$
• $x^{\prime }$ y $x^{\prime \prime }$ son inversos aditivos de $x$

P.D. que $x^{\prime }=x^{\prime \prime }$

Sabemos que si

$$\begin{array}{r}a+b=a+c\\ \forall a,b,c\in F\end{array}$$

entonces: b=c \tag{1}

(Demostración de $(1)$):

Sea $a^{\prime }$ inverso aditivo de $a$, entonces:

$$\begin{array}{rl}{a}^{\prime }+(a+b)& =a^{\prime }+(a+c)\\ (a^{\prime }+a)+b& =(a^{\prime }+a)+c\\ e+b& =e+c\\ b& =c\end{array}$$

Además, tenemos que

$x+x^{\prime }=0$ y que

$x+x^{\prime \prime }=0$

Es decir:

$$x+x^{\prime }=x+x^{\prime \prime }$$

Por $(1)$ podemos decir entonces que:

$$x^{\prime }=x^{\prime \prime }\text{\hspace{1em}(□)}$$

d)

Sea $x\in F|x\ne e$.

Supongamos que $y^{\prime }$ y $y^{\prime \prime }$ son inversos multiplicativos de $x$.

P.D. $y^{\prime }=y^{\prime \prime }$.

Sabemos que si $a\ne e$

$$ab=ac$$

entonces:

$$b=c\text{\hspace{1em}(1)}$$

Demostración de $(1)$:

Como $a\ne e$ entonces tiene neutro multiplicativo. Sea $a^{\prime }\in F$ inverso multiplicativo de $a$. Entonces:

$$\begin{array}{rl}{a}^{\prime }(ab)& =a^{\prime }(ac)\\ (a^{\prime }a)b& =(a^{\prime }a)c\\ ub& =uc\\ b& =c\end{array}$$

Sabemos que $x{y}^{\prime }=u$ y $x{y}^{\prime \prime }=u$, es decir: $x{y}^{\prime }=x{y}^{\prime \prime }$. Por $(1)$ tenemos entonces que:

$$y^{\prime }=y^{\prime \prime }\text{\hspace{1em}(□)}$$

Notación

Si $F$ es un campo, entonces $0_F=0$ es el neutro aditivo y $1_F=1$, es el neutro multiplicativo.

Si $x\in F,-x$ denota su inverso aditivo. Si $x\in F$ y $x\ne 0_F,x^{-1}=\frac{1}{x}$ denota su inverso multiplicativo.