Clase 03

Propiedades de los inversos multiplicativos

Sea $F$ un campo y $x,x_1,\dots ,x_n\in F$, elementos distintos de cero, entonces: a) $xy\ne 0_F=0;(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$ b) $(x_1,x_2,\dots x_n{)}^{-1}=x_1^{-1}{x}_2^{-1}\dots x_n^{-1}$ c) $(x^{-1}{)}^{-1}=x$ d) $1_F^{-1}=1_F,(-1_F{)}^{-1}=-1_F,(-1_F{)}^2=1_F$

\begin{proof} a) $xy\ne 0_F=0;(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$

Suponemos que $xy=0_F$, entonces

$$xy=0_F=x{0}_F$$

por hipótesis $x\ne 0_f$ y $y\ne 0_F$

Por la ley de la cancelación para el producto: $y=0_F$, lo cual es una contradicción ya que $y\ne 0_f$

Para mostrar que $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$ basta probar que $x^{-1}{y}^{-1}$ es inverso multiplicativo de $xy$.

$$\begin{array}{rl}(xy)(x^{-1}{y}^{-1})& =(yx)(x^{-1}{y}^{-1})\\ & =y(x{x}^{-1})y^{-1}\\ & =y\cdot 1_F{y}^{-1}\\ & =y{y}^{-1}\\ & =1_F\end{array}$$

\end{proof}

\begin{proof}

b) $(x_1,x_2,\dots x_n{)}^{-1}=x_1^{-1}{x}_2^{-1}\dots x_n^{-1}$

Procedemos por inducción a partir de $n\ge 2$: $n=2$ es el inciso a)

H.I. Supongamos cierto para $n-1$, es decir que $(x_1,x_2,\dots x_{n-1}{)}^{-1}=x_1^{-1}{x}_2^{-1}\dots x_{n-1}^{-1}$

P.D. $(x_1,x_2,\dots x_n{)}^{-1}=x_1^{-1}{x}_2^{-1}\dots x_n^{-1}$

Sea $y=x_1{x}_2\dots x_{n-1}$ entonces, $(x_1{x}_2\dots x_{n-1}{x}_n{)}^{-1}=(y{x}_n{)}^{-1}$ $=y^{-1}{x}_n^{-1}=(x_1{x}_2\dots x_{n-1}{)}^{-1}{x}_n^{-1}$ Por H.I. $=x_1^{-1}{x}_2^{-1}\dots x_{n-1}^{-1}{x}_n^{-1}$

\end{proof}

\begin{proof} c) $(x^{-1}{)}^{-1}=x$

Queremos que el inverso multiplicativo de $x^{-1}$ sea $x$. Esto es cierto, pues $x{x}^{-1}=1$ Por unicidad del inverso multiplicativo de $x^{-1}$:

$$x=(x^{-1}{)}^{-1}$$

\end{proof}

\begin{proof} d) $1_F^{-1}=1_F,(-1_F{)}^{-1}=-1_F,(-1_F{)}^2=1_F$

$1_F^{-1}=1_F$ es cierto pues $1_F\cdot 1_F=1_F$ y por unicidad del inverso multiplicativo de $1_F$

$(-1_F{)}^{-1}=-1_F$ es cierto por unicidad y que $(-1)(-1)=1$

$(-1_F{)}^2=1_F$ es cierto porque $(-1)(-1)=1$ \end{proof}

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Sea $p$ un primo. Sea $\mathbb{Q}(\sqrt{p})=\left\{a+b\sqrt{p}|a,b\in \mathbb{Q}\right\}$ es un subconjunto propio de los números reales.

$$+:\mathbb{Q}(\sqrt{p})\times \mathbb{Q}(\sqrt{p})\to \mathbb{Q}(\sqrt{p})$$

Operación cerrada en los números reales

$$\begin{array}{r}{a}_1+b_1\sqrt{p},a_2+b_2\sqrt{p}\in \mathbb{Q}(\sqrt{p})\\ (a_1+b_1\sqrt{p})+(a_2+b_2\sqrt{p})=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\sqrt{p}\in \mathbb{Q}(\sqrt{p})\end{array}$$ $$\cdot :\mathbb{Q}(\sqrt{p})\times \mathbb{Q}(\sqrt{p})\to \mathbb{Q}(\sqrt{p})$$

Operación cerrada en los números reales

$$\begin{array}{rl}{a}_1+b_1\sqrt{p},a_2+b_2\sqrt{p}\in \mathbb{Q}(\sqrt{p})& \\ (a_1+b_1\sqrt{p})(a_2+b_2\sqrt{p})& =a_1{a}_2+a_1{b}_2\sqrt{p}+b_1{a}_2\sqrt{p}+b_1{b}_{2}p\\ & =(a_2{a}_2+b_1{b}_{2}p)+(a_1{b}_2+b_1{a}_2)\sqrt{p}\end{array}$$

Sobre el 0: $0\in \mathbb{Q}(\sqrt{p})$ pues $0=0+0\sqrt{p}$ Inverso aditivo de $a+b\sqrt{p}$ es $-a-b\sqrt{p}\in \mathbb{Q}(\sqrt{p})$

El inverso aditivo de $a+b\sqrt{p}$ es:

$-a-b\sqrt{p}\in \mathbb{Q}(\sqrt{p})$

Por lo que es cerrado en inversos aditivos.

Sobre el 1: $1=1+0\sqrt{p}\in \mathbb{Q}(\sqrt{p})$

Inversos multiplicativos:

Inverso multiplicativo:

Si $a+b\sqrt{p}\ne 0$ $(a+b\sqrt{p}{)}^{-1}\in \mathbb{Q}(\sqrt{p})$ $\frac{a}{a^2+b^{2}p}-\sqrt{p}\frac{b}{a^2+b^{2}p}$