Clase 25

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Vectores canónicos en $F^n$ $\overline{e_1},\overline{e_2,\dots ,\stackrel{ˉ}{e_n}}$ generan a $F^n$ y son linealmente independientes.

Las matrices canónicas $\{E^{ij}\in M_{m\times n}(F)|1\le i\le m,1\le j\le n\}$ generan a $M_{m\times n}(F)$ y son linealmente independientes.

Sea $V$ un $F-e.v.$ diremos que $V$ está finítamente generado si existen $v_1,\dots ,v_n\in V$ tal que $⟨v_1,\dots ,v_{n⟩}=V$.

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1 def Sea $V$ un $F-e.v.$ finitamente generado. Un conjunto finito de vectores $v_1,\dots ,v_n\in V$ es base de $V$ si:

i) $v_1,\dots ,v_n$ generan a $V$. Es decir: $⟨v_1,\dots ,v_n⟩=V$ ii) $v_1,\dots ,v_n$ son vectores linealmente independientes.

Cualquier conjunto de vectores que contiene al vector cero es linealmente dependiente.

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2 def Sea $V$ un $F-e.v.$ finitamente generado y $\{v_1,\dots ,v_n\}$ un conjunto de vectores de $V$.

a) Diremos que el conjunto $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es mínimo generador si $\{v_1,\dots ,v_n\}$ generan y para cada $1\le i\le m$, $\{v_1,\dots ,v_n\}\setminus \{v_i\}$ ya no genera a $V$.

b) Diremos que el conjunto $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es máximo linealmente independiente si $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es linealmente independiente y para $w\in V,w\ne v_i,\{v_1,\dots ,v_n,w\}$ es linealmente dependiente.

Ejemplos:

En ${\mathbb{R}}^2$ $\{(1,0),(0,1)\}$ es un conjunto mínimo de generadores.

$\{(1,0),(0,1)\}$ genera a ${\mathbb{R}}^2$ ya que si $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2,(a,b)=a(1,0)+b(0,1)$.

$\{(1,0),(0,1)\}\setminus \{(1,0)\}=\{(0,1)\}$ ya no genera a ${\mathbb{R}}^2$. De igual forma: $\{(1,0),(0,1)\}\setminus \{(0,1)\}=\{(1,0)\}$ ya no genera a ${\mathbb{R}}^2$. Por lo tanto, es un conjunto máximo linealmente independiente.

Sea $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ PD: $\{(1,0),(0,1),(a,b)\}$ es linealmente dependiente.

Tenemos que

$$\begin{array}{rl}(a,b)& =a(1,0)+b(0,1)\\ & ⟹(0,0)=-1(a,b)+a(1,0)+b(0,1)\end{array}$$

Por lo tanto, es linealmente dependiente.

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3 def 23:22
Sea $V$ un $F-e.v.$ finítamente generado y $v_1,\dots ,v_n\in V$ Diremos que $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es base de $V$ si: i) $\{v_1,\dots ,v_n\}$ genera a $V$ ii) $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es linealmente independiente.

Los vectores canónicos en $F^n$ $\overline{e_1},\overline{e_2},\dots ,\overline{e_n}$ son base de $F^n$.

Las matrices canónicas $\{E^{ij}\in M_{m\times n}(F)|1\le i\le m,1\le j\le n\}$ es base de $M_{m\times n}(F)$.

Un conjunto linealmente dependiente puede ser generador, pero tiene una infinidad de soluciones.

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4 Teorema 35:00 Sea $V$ un $F-e.v.$ finitamente generado y supongamos que $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es una base de $V$.

Entonces cada vector $w\in V$ se expresa de manera única como $w={\alpha }_1{v}_1+\cdots +{\alpha }_n{v}_n$.

\begin{proof} 38:48

\end{proof}